Relatività 1

1. UN ESAME CRITICO DELLO SPAZIO-TEMPO GALILEIANO.
Lo spazio- tempo come fibrato sul tempo assoluto, e come spazio affine quadridimensionale. La propagazione della luce, l'esperimento di Michelson-Morley e la crisi del modello galileiano.
2. LA TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA.
Postulati fondamentali. Teorema di Aleksandrov. Trasformazioni di Lorentz. Gli effetti di "contrazione delle lunghezze" e "dilatazione dei tempi" previsti dalle trasformazioni di Lorentz; osservazione della dilatazione dei tempi nel decadimento di particelle elementari. Composizione relativistica delle velocità. Aberrazione della luce. Lo spazio-tempo di Minkowski, con la sua struttura affine e pseudo-euclidea; vettori di tipo spaziale, temporale e luce. Linea di universo di una particella. Tempo proprio. Paradosso dei gemelli. Quadrivelocità e quadriaccelerazione di una particella. Dinamica relativistica della particella: formulazione invariante e secondo un osservatore inerziale, risoluzione delle equazioni di moto in casi semplici. Conservazione del quadriimpulso nei sistemi isolati.
Quadriimpulso di un fotone.
Le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico: formulazione relativisticamente invariante, mediante il calcolo differenziale esterno e la dualità di Hodge. Descrizione relativisticamente invariante delle soluzioni delle equazioni di Maxwell; potenziali avanzati e ritardati.
Effetto Doppler. Cenni di meccanica dei fluidi perfetti. Il tensore energia- impulso: considerazioni generali e descrizione specifica nei casi della fluidodinamica e dell'elettromagnetismo.
3. LA TEORIA DELLA RELATIVITA' GENERALE.
Motivazioni fisiche per una teoria geometrica della gravità. Struttura geometrica dello spazio-tempo. Il concetto di osservatore in relatività generale: lo spazio solidale, e il problema della simultaneità rispetto all'osservatore. Il teorema di Coriolis in relatività generale. Dinamica della particella. Il caso di una particella in caduta libera: principio della geodetica.
Concetti fondamentali di fluidodinamica ed elettromagnetismo in uno spazio-tempo curvo. La legge newtoniana per il moto dei gravi come caso limite del principio della geodetica. Comportamento degli orologi in un campo gravitazionale: esperimenti di Hafele-Keating e di Pound-Rebka. Il tensore energia-impulso in relatività generale. Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale. Soluzione approssimata delle equazioni di Einstein nel limite di campo debole: la teoria della gravita' di Newton come caso limite della relatività generale. Soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein. Moto di una particella e traiettoria di un segnale luminoso nello spazio-tempo di Schwarzschild. Precessione del perielio di un pianeta e deflessione dei raggi luminosi nel campo gravitazionale del Sole.
NOTA. Dopo avere seguito questo insegnamento gli studenti potranno, se lo desiderano, affrontare lo studio di un argomento avanzato legato alla teoria della relatività generale utilizzando materiale bibliografico indicato dal docente e tenere un seminario su tale argomento che, in caso di valutazione positiva da parte del docente, consentirà l'acquisizione di 3 crediti supplementari di tipo F. Gli argomenti avanzati proposti sono i seguenti:
1) Il sistema GPS e la teoria della relatività generale.
2) Modelli cosmologici in relatività generale.
3) Introduzione ai buchi neri.
4) Le onde gravitazionali e la loro rivelazione.

Questa parte dell'insegnamento è dedicata ai concetti geometrico- differenziali coinvolti nella costruzione rigorosa della Teoria della Relatività. Sono trattatti i seguenti argomenti: varietà differenziali, campi tensoriali, derivata di Lie, differenziale esterno, distribuzioni e teorema di Frobenius, fibrati vettoriali e connessioni, varietà riemanniane e pseudo-riemanniane.