Teoria della rappresentazione

A.A. 2019/2020
9
Crediti massimi
69
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è presentare le idee basilari della Teoria della Rappresentazione per gruppi finiti (nella parte da 6 crediti) e per le algebre di Lie (nella parte avanzata da 3 crediti).
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle idee basilari della Teoria della Rappresentazione per gruppi finiti (nella parte da 6 crediti) e per le algebre di Lie (nella parte avanzata da 3 crediti).
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Prerequisiti
Nozioni di base dell'Algebra, in particolare della Teoria dei Gruppi.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame è diviso in una parte da 6 c.f.u. (relativa alle rappresentazioni di gruppi) ed una da 3 c.f.u. (facoltativa, relativa alle Algebre di Lie). Non c'è alcun vincolo temporale, né di ordine, tra lo svolgimento delle prove relative alle due parti.

1) Per la parte da 6 c.f.u., l'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.

- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso. La prova scritta è in forma di homework: lo studente riceve un testo contenente tre o quattro esercizi, da svolgere nell'arco di sette giorni circa e restituire poi ai docenti. L'esito della prova scritta sarà comunicato in sede di prova orale.

- Durante la prova orale verrà discusso l'elaborato scritto dello studente, e verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.

2) Per la parte da 3 c.f.u., l'esame consiste nella preparazione e nell'esposizione (di fronte a chiunque sia interessato) di un seminario su un argomento concordato con i docenti, che parta dal programma trattato durante il corso ma che raggiunga un grado di approfondimento maggiore.

Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine del seminario.


Per coloro che intendono sostenere entrambe le parti dell'esame, il voto finale viene comunicato immediatamente dopo l'ultima delle prove sostenute, ed è determinato dalla media ponderata degli esiti conseguiti nelle due parti.
Teoria della rappresentazione (prima parte)
Programma
1. Definizioni ed esempi: rappresentazioni irriducibili e completamente riducibili di un gruppo finito.
2. Rappresentazioni e moduli. Moduli semplici e semisemplici.
3. Applicazioni all'algebra gruppale. Teorema di Maschke.
4. Definizioni ed esempi di rappresentazioni irriducibili, riducibili, completamente riducibili. Caratteri di un gruppo finito. Definizioni e proprietà generali, caratteri irriducibili, relazioni di ortogonalità, caratteri lineari.
5. Tavole dei caratteri. Esempi.
6. Applicazioni della Teoria dei Caratteri. Criteri di risolubilità; Teorema di Burnside, esistenza e determinazione di sottogruppi normali.
7. Prodotti di rappresentazioni.
8. Rappresentazioni e caratteri indotti. Teorema di Frobenius.
9. Rappresentazioni del gruppo simmetrico. Partizioni e tableaux di Young, gradi delle rappresentazioni irriducibili di S_n.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
C.W. Curtis, I. Reiner, "Representation theory of finite groups and associative algebras", Interscience Publ. New York (1962).

I.M. Isaacs, "Character Theory of finite groups", Academic Press (1976).

M.P. Malliavin, "Les groupes finis et leurs représentations complexes", Volume 1. Masson, 1981
Teoria della rappresentazione mod/2
Programma
Varietà lisce, spazio tangente e fibrato tangente di una varietà liscia, campi vettoriali lisci e algebra di Lie ad essi associata. Gruppi di Lie ed algebre ad essi associate: campi vettoriali lisci invarianti a sinistra. Funtore tra categoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
Esempi di algebre di Lie. Rappresentazione aggiunta. Ideali. Algebre risolubili e nilpotenti, algebre semisemplici. Teorema di Engel e teorema di Lie.
Forma di Killing e caratterizzazione delle algebre semisemplici. Moduli per algebre di Lie e teorema di Weyl sulla completa riducibilità dei moduli di un'algebra semisemplice. Moduli di sl(2,C). Sottoalgebre torali e decomposizione di Cartan; sistemi di radici.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
J.E. Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", Springer (1972).

W. Fulton, J. Harris, "Representation Theory: A First Course", Springer (1991).

J.M. Lee, "Introduction to Smooth Manifolds", Springer (2012).
Moduli o unità didattiche
Teoria della rappresentazione (prima parte)
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 6
Esercitazioni: 20 ore
Lezioni: 28 ore

Teoria della rappresentazione mod/2
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 3
Lezioni: 21 ore

Docente/i
Ricevimento:
mercoledì 9-10.30 e/o su appuntamento per e-mail
studio 2093
Ricevimento:
Mercoledì, 13.30-15.30 (per una migliore organizzazione si invita a contattare il docente per email)
Dipartimento di Matematica, II piano, studio 2093