Analisi matematica 2

1. Calcolo integrale (secondo Riemann) per f: R-->R
Anti-derivazione, funzioni primitive, l'integrale indefinito. Tecniche di calcolo degli integrali indefiniti. Riemann-integrabilità per f:[a,b] R e l'integrale definito. Significato geometrico dell'integrale. Condizioni di integrabilità. Proprietà dello spazio delle funzioni integrabili e dell'integrale. La funzione integrale e le sue proprietà. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e le sue conseguenze. Integrali impropri, condizioni di convergenza ed esempi. Relazioni tra integrali e serie numeriche.
2. Calcolo differenziale per f: Rn-->Rm
Limiti, continuità e problematiche connesse.
Il caso delle funzioni reali: derivate direzionali; vettore gradiente, legami tra derivabilità direzionale e continuità. Differenziabilità: condizioni necessarie, teorema del differenziale totale, iper-piano tangente, significato geometrico del vettore gradiente, funzioni di classe C¹. Teorema di Lagrange.
Il caso delle funzioni vettoriali: matrice jacobiana; differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili. Teorema dell'incremento finito.
Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwartz. Il differenziale secondo come forma bilineare. Funzioni di classe C². Derivate direzionali di ordine k. La formula di Taylor, con resti secondo Peano e Lagrange.
Ottimizzazione libera per funzioni reali: punti stazionari, estremanti, di sella. Utilizzo della matrice hessiana per la classificazione dei punti estremanti: il ruolo degli autovalori.
Integrale Riemann per funzioni reali di più variabili reali.
L'integrale di Riemann per funzioni definite in (pluri-)rettangoli, e il calcolo per mezzo degli integrali iterati. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, la misura di P-J e le sue proprietà. Insiemi di misura nulla, funzioni quasi-ovunque continue e loro integrabilità. Calcolo esplicito mediante integrazione iterata; insiemi normali rispetto agli assi coordinati. Diffeomorfismi tra aperti di R^n. Integrazione mediante cambiamento delle variabili. Integrali multipli impropri. Integrale gaussiano, il calcolo del volume della sfera unitaria n-dimensionale, la funzione Γ di Eulero.

1. Calcolo integrale (secondo Riemann) per f: R-->R
Anti-derivazione, funzioni primitive, l'integrale indefinito. Tecniche di calcolo degli integrali indefiniti. Riemann-integrabilità per f:[a,b] R e l'integrale definito. Significato geometrico dell'integrale. Condizioni di integrabilità. Proprietà dello spazio delle funzioni integrabili e dell'integrale. La funzione integrale e le sue proprietà. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e le sue conseguenze. Integrali impropri, condizioni di convergenza ed esempi. Relazioni tra integrali e serie numeriche.
2. Calcolo differenziale per f: Rn-->Rm
Limiti, continuità e problematiche connesse.
Il caso delle funzioni reali: derivate direzionali; vettore gradiente, legami tra derivabilità direzionale e continuità. Differenziabilità: condizioni necessarie, teorema del differenziale totale, iper-piano tangente, significato geometrico del vettore gradiente, funzioni di classe C¹. Teorema di Lagrange.
Il caso delle funzioni vettoriali: matrice jacobiana; differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili. Teorema dell'incremento finito.
Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwartz. Il differenziale secondo come forma bilineare. Funzioni di classe C². Derivate direzionali di ordine k. La formula di Taylor, con resti secondo Peano e Lagrange.
Ottimizzazione libera per funzioni reali: punti stazionari, estremanti, di sella. Utilizzo della matrice hessiana per la classificazione dei punti estremanti: il ruolo degli autovalori.
Integrale Riemann per funzioni reali di più variabili reali.
L'integrale di Riemann per funzioni definite in (pluri-)rettangoli, e il calcolo per mezzo degli integrali iterati. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, la misura di P-J e le sue proprietà. Insiemi di misura nulla, funzioni quasi-ovunque continue e loro integrabilità. Calcolo esplicito mediante integrazione iterata; insiemi normali rispetto agli assi coordinati. Diffeomorfismi tra aperti di R^n. Integrazione mediante cambiamento delle variabili. Integrali multipli impropri. Integrale gaussiano, il calcolo del volume della sfera unitaria n-dimensionale, la funzione Γ di Eulero.