Geometria 2

A.A. 2020/2021
6
Crediti massimi
52
Ore totali
SSD
MAT/03
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivo del corso è fornire alcune conoscenze di base della geometria differenziale, incluso gruppi di Lie e fibrati principali, necessarie per affrontare studi di teoria di Gauge. Nella parte finale del corso verranno introdotte la coomologia di De Rham e varietà complesse.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti abilita':

1) saprà utilizzare il linguaggio e i metodi della geometria differenziali
2) sarà in grado di comprendere e utilizzare campi vettoriali e forme differenziali
3) sarà in grado di comprendere e utilizzare le proprieta' dei gruppi di Lie (campi invarianti sinistra, algebra di Lie e una forma canonica)
4) sarà in grado di comprendere e utilizzare i fibrati principali e connessioni
5) sarà in grado di comprendere e utilizzare la coomologia di de Rham (lemma di Poincare', la successione di Mayer-Vietoris, gruppi di coomologia di sfere e spazi proiettivi)
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Verranno rese disponibili videolezioni asincrone organizzate per coprire gli argomenti di ogni lezione dell'insegnamento. Le lezioni registrate verranno rese disponibili agli studenti sulla piattaforma ARIEL dell'insegnamento per tutto il semestre e caricate sul sito poco prima dell'orario dell'insegnamento. Inoltre, periodicamente verranno organizzati degli incontri sincroni con gli studenti, utilizzando Skype oppure Zoom oppure Teams al fine di fornire chiarimenti ed approfondimenti sugli argomenti dell'insegnamento e rispondere alle domande degli studenti.
Programma
Varietà differenziabili: applicazioni lisce e funzioni lisce, spazi e fibrati tangenti, gruppi di Lie, algebre di Lie, forme differenziali, il fibrato cotangente di un gruppo di Lie e l'equazione di Maurer-Cartan, fibrati principali e connessioni con applicazioni alla teoria di Gauge. Coomologia di De Rham: successione di Mayer-Vietoris, lemma di Poincare' e esempi. Integrazione su varietà: orientazione, teorema di Stokes. Varietà complesse: strutture complesse e cenni alle varietà di Kähler.
Prerequisiti
Laurea triennale in fisica.
Metodi didattici
Lezioni tradizonali alla lavagna.
Materiale di riferimento
Riferimenti bibliografici:
M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale. Springer Verlag 2011.
D. Huybrechts, Complex geometry, an introduction. Berlin Springer-Verlag 2005.
G.L. Naber, Topology, Geometry, and Gauge Fields. Interactions. Springer Verlag 2000.
G.L. Naber, Topology, Geometry, and Gauge Fields. Foundations. Springer Verlag 1997.
C. Taubes, Differential Geometry. Oxford University Press 2011.
L.W. Tu, An introduction to manifolds. Springer 2011.

Pagina web: http://www.mat.unimi.it/users/geemen/Geometria2_fisica19.html
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale su appuntamenta. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema legato alla materia, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 28 ore
Docente/i
Ricevimento:
su appuntamento per email (lambertus.vangeemen@unimi.it)