Matematica

A.A. 2020/2021
6
Crediti massimi
68
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di presentare alcuni concetti e metodi matematici, con particolare attenzione allo sviluppo degli aspetti della disciplina più utili per una reale comprensione degli argomenti trattati nei corsi caratterizzanti delle lauree impartite in Facoltà. Lo scopo del corso è far acquisire allo studente una adeguata comprensione teorica degli argomenti affrontati, insieme a una adeguata capacità di esecuzione delle procedure di calcolo coinvolte. Inoltre, al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di utilizzare le conoscenze acquisite per formulare e risolvere in maniera rigorosa semplici problemi di carattere applicativo.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione degli strumenti e delle conoscenze della Matematica di base e dell'Analisi Matematica elementare. In particolare per quanto riguarda la Matematica di base lo studente sarà in grado di manipolare formule contenenti espressioni algebriche, percentuali e proporzioni, radicali, logaritmi ed esponenziali, di risolvere equazioni e disequazioni, di utilizzare i principali strumenti e tecniche della geometria analitica, geometria piana e solida e della trigonometria. Per quanto riguarda invece l'Analisi Matematica elementare, lo studente sarà in grado di tracciare e interpretare grafici di funzioni di una variabile in diversi contesti, di calcolare limiti, derivate e integrali e di utilizzare questi concetti per descrivere e risolvere problemi reali. Lo studente sarà inoltre in grado di comprendere ed eseguire in autonomia alcuni semplici passaggi matematici comunemente utilizzati nella letteratura scientifica del proprio settore.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Insiemi e numeri. Insiemi e operazioni sugli insiemi. Insieme dei numeri naturali, interi, razionali. Dimostrazione per assurdo. Densità di Q in R. Struttura algebrica e struttura d'ordine in R. Insiemi di numeri reali limitati o illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Teorema di completezza. La struttura metrica di R. Modulo. Distanza e intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera e di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale, esponenziali, logaritmi. Disequazioni algebriche di I e II grado, fratte, irrazionali, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche. Sistemi di disequazioni.
2. Prime proprietà delle funzioni. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Grafico, dominio, immagine. Iniettività e invertibilità. Composizione di funzioni. Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni convesse e concave. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore di funzioni. Segno e zeri di una funzione. Funzioni pari e dispari.
3. Richiami di geometria analitica. Distanza tra due punti del piano, equazione di una retta nel piano, condizioni di parallelismo ed ortogonalità. Distanza punto retta, punto medio e asse di un segmento. Funzioni lineari e loro applicazioni a problemi reali. Goniometria e trigonometria: definizioni e principali proprietà, teorema dei seni e teorema di Carnot, applicazioni a problemi reali.
4. Grafici di funzioni elementari. Le funzioni potenza e radice. La funzione esponenziale e logaritmica. Le funzioni trigonometriche e loro inverse. Operazioni elementari sui grafici (traslazioni, ribaltamenti, simmetrie, valori assoluti). Disequazioni con confronti grafici.
5. Limiti e funzioni continue. Definizione di limite. Limite destro e sinistro. Limite per difetto e per eccesso. Asintoti orizzontali e verticali. Esistenza e unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema del confronto. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Calcolo di limiti di funzioni elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti obliqui. Notazioni o-piccolo e asintotico. Comportamento di alcune funzioni elementari per x→0. Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema di Darboux.
6. Calcolo differenziale. Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Funzione derivata. Significato geometrico della derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, composta e inversa. Relazione fra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Derivabilità di ordine superiore. Teorema di De l'Hopital. Polinomio di Taylor di ordine n e suo utilizzo nel calcolo dei limiti. Intervalli di monotonia della funzione. Punti di massimo e minimo relativi. Teorema di Fermat. Relazioni tra derivabilità e monotonia. Derivata seconda e convessità. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
7. Integrali. Primitive di una funzione. Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità. Teorema fondamentale del calcolo integrale e teorema della media. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Calcolo di aree di regioni piane.
Prerequisiti
Essendo un insegnamento del primo semestre del primo anno non vi sono prerequisiti specifici differenti da quelli richiesti per l'acceso al corso di laurea.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni, utilizzo di piattaforma di e-learning associata al libro di testo, utilizzo di software didattici, lavoro di gruppo, simulazioni di prove d'esame per l'apprendimento della materia e come strumento di verifica e autovalutazione. Il corso si avvale utilizzo di piattaforma Ariel, sulla quale vengono caricati con cadenza settimanale fogli di esercizi e altro materiale didattico relativo agli argomenti trattati a lezione. La frequenza al corso, se pur non obbligatoria, è fortemente consigliata.
Materiale di riferimento
Appunti delle lezioni, temi d'esame (disponibili nel sito in Ariel del corso)
Progetto Minimat e Progetto Matematica assistita (disponibili nel sito in Ariel del corso)
Annaratone S., Matematica sul Campo. Metodi ed esempi per le scienze della vita. Pearson.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. La prova scritta è costituita da due parti:
· La Parte A, della durata di 30 minuti, consiste in 10 domande aperte riguardanti i prerequisiti al corso. Le domande, estremamente semplici, hanno l'obiettivo di valutare se lo studente possiede le competenze minime per affrontare lo studio della matematica universitaria. Tale Parte A sarà considerata superata se si risponderà correttamente ad almeno 8 domande su 10.
Il superamento della Parte A è condizione necessaria (ma non sufficiente!) per il superamento della prova scritta vera e propria.
· La Parte B, della durata di 90 minuti, consiste in alcuni esercizi a risposta aperta relativi agli argomenti di matematica svolti durante il corso.
La prova scritta si considera superata se tutte e due le parti sono superate (la parte A con almeno 8 su 10, la parte B con almeno 18 su 30). Il punteggio della parte A (se superata) NON contribuirà al voto della prova scritta.
Durante le parti A e B NON è consentito l'uso della calcolatrice.


Gli studenti devono presentarsi davanti all'aula 15 minuti prima dell'inizio della prova scritta, muniti di documento di identità con foto e di fogli protocollo.
La durata complessiva della prova scritta è di 2 ore. Durante la prova scritta è vietato l'uso di libri, appunti, calcolatrici di qualsiasi tipo, computer e telefoni cellulari. Durante tutta la prova scritta è vietato allontanarsi dall'aula.
La prova orale potrà essere sostenuta solo se la prova scritta è stata superata con una votazione maggiore o uguale a 18/30, e solamente nella stessa sessione della prova scritta. La comunicazione del superamento della prova scritta e quindi del calendario delle prove orali, avviene tramite il portale Ariel. L'orale contribuisce nella misura del 20% al voto finale che è espresso in trentesimi.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 6
Esercitazioni: 40 ore
Lezioni: 28 ore
Docente/i