Matematica del continuo

A.A. 2020/2021
12
Crediti massimi
112
Ore totali
SSD
MAT/01 MAT/02 MAT/03 MAT/04 MAT/05 MAT/06 MAT/07 MAT/08 MAT/09
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'obiettivo dell'insegnamento è duplice. Anzitutto, fornire agli studenti un linguaggio matematico di base, che li metta grado di formulare correttamente un problema e di comprendere un problema formulato da altri. Inoltre, fornire gli strumenti matematici indispensabili per la soluzione di alcuni problemi specifici, che spaziano dal comportamento delle successioni a quello delle serie e delle funzioni di una variabile.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente dovrà saper esprimere in modo corretto un certo numeri di concetti e strumenti matematici di base, contestualizzandoli su esempi concreti. Inoltre, dovrà saper scegliere quale di questi strumenti è il più adatto a risolvere un selezionato numero di problemi classici dell'Analisi Matematica. Dovrà quindi saper utilizzare tale strumento nel concreto per la soluzione del problema in esame, o quantomeno avere la conoscenza minima richiesta per comprendere un testo matematico che lo aiuti nella soluzione.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Metodi didattici:
Lezioni ed esercitazioni online in modalità asincrona/sincrona, con registrazione.
Revisione e chiarimenti degli argomenti delle lezioni ed esercitazioni durante le ore di tutorato online in modalità sincrona.

Programma:
Il programma non subirà variazioni

Modalità di verifica dell'apprendimento e criteri di valutazione:
Tutte le prove scritte, in itinere ed eventuali prove orali verranno svolte online.
Programma
Numeri naturali, interi, razionali, reali. Il campo reale e le sue operazioni.
Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali, estremo superiore ed estremo inferiore. I simboli +∞ e -∞. La retta reale.
Confronto tra razionali ed irrazionali.
Numeri complessi: rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, operazioni tra numeri complessi, radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: rappresentazioni, limitatezza e monotonia.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, simboli di Landau e loro utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero.
Limiti di funzioni. Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una curva. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizzazione (massimi e minimi di funzioni).
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti e metodi di integrazione: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.
Prerequisiti
- algebra elementare
- funzioni elementari e loro grafici
- risoluzione di equazioni e disequazioni elementari
- risoluzione grafica di disequazioni
- elementi di geometria analitica del piano
- elementi di trigonometria
- elementi di insiemistica
- elementi di logica
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni online in modalità asincrona/sincrona, con registrazione.

Revisione e chiarimenti degli argomenti delle lezioni ed esercitazioni durante le ore di tutorato online in modalità sincrona.

Possibili incontri di tutorato con gli studenti in presenza, nel rispetto delle direttive diramate.

Ulteriori informazioni sulle piattaforme utilizzate e le modalità di collegamento o sulla partecipazione ai possibili incontri di tutorato in presenza compariranno sul sito Ariel dell'insegnamento.
Materiale di riferimento
Testo di riferimento:
P. Marcellini e C. Sbordone, Calcolo, Liguori

Altro materiale:
MiniMat reperibile on-line sul sito Ariel (prerequisiti)
Matematica Assistita reperibile on-line sul sito Ariel
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale da svolgersi nello stesso appello.

La prova scritta dura 2 ore e si compone di due parti distinte:
Parte 1: Lo studente dovrà rispondere ad alcuni semplici quesiti indicando solo il risultato.
Parte 2: Lo studente dovrà risolvere alcuni esercizi sugli argomenti trattati durante le lezioni, indicando per alcuni esercizi solo la risposta, per altri lo svolgimento e la risposta. Lo studente dovrà inoltre rispondere ad alcune domande teoriche relative al programma dell'insegnamento (definizioni, enunciati dei teoremi, dimostrazioni dei teoremi).
Oltre alle risposte verranno valutati gli svolgimenti degli esercizi e la correttezza delle dimostrazioni.
Il superamento della Parte 1 è condizione necessaria alla correzione della Parte 2 (cioè se la Parte 1 non viene superata la prova è insufficiente e la Parte 2 non viene corretta). Il voto finale è determinato solo dal voto della Parte 2. La prova scritta è superata se il voto è maggiore o uguale a 18/30.

Durante l'esame non si possono consultare appunti o libri, né utilizzare calcolatrici o altri strumenti di calcolo.

Le prove scritte si terranno nei 5 appelli d'esame distribuiti nei mesi di gennaio, febbraio, giugno, luglio, settembre.

La prova scritta può essere sostituita da due prove in itinere riservate alle sole matricole. La prima si svolgerà indicativamente nella seconda metà di novembre, la seconda subito dopo la fine delle lezioni in gennaio.
La struttura e le regole delle prove in itinere sono le stesse di quelle delle prove scritte, tranne il fatto che durano 1 ora e 30 minuti. Per superare la prova scritta con le prove in itinere bisogna ottenere almeno 16/30 in ciascuna prova con una media di almeno 18/30. Il voto finale della prova scritta sarà la media dei voti (arrotondata per eccesso) delle due prove in itinere.

Sono ammessi a partecipare alle prove in itinere solo le matricole. Le prove in itinere si svolgeranno con modalità on line.

La prova orale si svolgerà con due modalità:
1) nel caso si voglia confermare il voto ottenuto nella prova scritta la prova orale è limitata alla discussione dello scritto o delle prove in itinere;
2) nel caso si voglia migliorare il voto ottenuto nella prova scritta o nelle prove in itinere oppure ottenere la lode, lo studente deve superare nello stesso appello anche una prova orale sul programma (definizioni, enunciati dei teoremi, dimostrazioni dei teoremi).
Per le prove in itinere la prova orale si terrà in gennaio.
In caso di valutazione negativa della prova orale (in entrambe le modalità) il voto ottenuto nella prova scritta potrebbe essere modificato di conseguenza o addirittura si dovrà ripetere la prova scritta.

Per partecipare ad una prova scritta o a una prova in itinere è necessario iscriversi tramite il sistema previsto dall'università, entro la scadenza indicata. Il candidato è tenuto ad esibire un documento di identificazione personale dotato di fotografia.

Ulteriori e aggiornate informazioni compariranno sulla pagina Ariel del corso.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 0
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 0
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 0
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 0
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/08 - ANALISI NUMERICA - CFU: 0
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA - CFU: 0
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 64 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
per appuntamento via e-mail
Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50 - ufficio n. 2060
Ricevimento:
su appuntamento
stanza 2045 Dipartimento di matematica