Metodi matematici della fisica

A.A. 2020/2021
7
Crediti massimi
64
Ore totali
SSD
FIS/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di introdurre lo studente ai metodi dell'analisi complessa e dell'analisi funzionale. Nonostante il suo carattere introduttivo il corso vuole anche essere rigoroso, non trascurando gli aspetti dimostrativi piu` significativi. Sono punti fondamentali del programma:
-il concetto di funzione olomorfa e esempi di mappe, espandibilita` in serie di Taylor, teorema di Cauchy e applicazioni, singolarita` isolata e sviluppo di Laurent. Teorema dei residui e integrazione nel piano complesso. Concetto di prolungamento analitico.
-gli spazi di Banach e di Hilbert, esempi di spazi di funzioni. Introduzione agli operatori lineari sugli spazi di Hilbert.
-serie di Fourier e trasformata di Fourier e di Laplace.
-Introduzione alla teoria delle distribuzioni temperate.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso lo studente avra' sviluppato le seguenti abilita`
1)) sapra' maneggiare numeri complessi unitamente alla loro interpretazione geometrica e sapra' svolgere operazioni aritmetiche ed algebriche in campo complesso, studiare mappe nel piano complesso.
2) sapra' effettuare analisi e studio di funzioni (monodrome e polidrome) in campo complesso
3) sapra' calcolare integrali in campo complesso utilizzando tutte le principali tecniche di integrazione in campo complesso basate su teorema di Cauchy e calcolo dei residui
4) avra` conoscenze delle principali proprieta` degli spazi di Hilbert e di Banach, conoscenza di importanti sistemi ortonormali
di funzioni (Hermite, Legendre)
5) avra` conoscenze delle principali proprieta` di operatori lineari limitati come: proiettori, isometrie, operatori unitari, funzione di operatore limitato, nozione di aggiunto ed estensione al caso non limitato. Capacita` calcolative in ambito finito-dimensionale e in semplici esempi infinito-dimensionali
6) avra` conoscenze della teoria delle serie di Fourier, anche per aspetti di convergenza puntuale, e sara` in grado di calcolare
gli sviluppi in serie di semplici funzioni.
7) avra` conoscenza della trasformata integrale di Fourier (e Laplace) in L1 e L2, e del teorema di Riemann-Lebesgue. Sapra` calcolare le principali trasformate, anche con le tecniche di integrazione nel piano complesso.
8) avra` conoscenze di base di teoria delle distribuzioni temperate e delle relative operazioni, conoscenza delle principali distribuzioni (delta, theta, parte principale), derivata e trasformata di Fourier, con applicazionii (identita' di Sokhotskii-Plemelj).
Programma e organizzazione didattica

CORSO A

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Nell'ipotesi di fase emergenziale, il corso potrebbe essere erogato in diretta online, via zoom, con programma sostanzialmente invariato, esercitazioni e tutoraggio online.
Lezioni registrare e note didattiche saranno disponibili sul sito ARIEL.
L'esame (online a telecamere aperte) consiste in 3 esercizi da svolgere su carta in 30 minuti ciascuno, e inviare al docente in foto prima del successivo. La valutazione massima e` 25. Lo studente che ha superato lo scritto ha facoltà` di integrare l'esame con un orale (via zoom) di circa 30 minuti.
Programma
Analisi Complessa: funzioni olomorfe, mappe conformi, problemi di elettrostatica 2D, integrazione complessa, trasformata di Cauchy, funzione indice, teoremi di Cauchy, serie di potenze e di Laurent, singolarità isolate, teorema dei residui, continuazione analitica, funzione Gamma.
Analisi funzionale: spazi di Hilbert con esempi, polinomi ortogonali, basi ortonormali (Hermite, Legendre), elementi di teoria degli operatori lineari limitati (operatore aggiunto, unitario, proiettore, funzioni di operatori), aggiunto di operatore non limitato con esempi, serie di Fourier (convergenza puntuale e in norma), spazi S delle funzioni a decrescenza rapida e S' delle distribuzioni temperate, trasformata integrale di Fourier negli spazi S, S', L1 e L2, inversione e convoluzione. Teorema di Riemann-Lebesgue.
Prerequisiti
Algebra lineare (spazi vettoriali reali e complessi; matrici Hermitiane, unitarie, ortogonali; autovettori e autovalori; teorema di Cayley-Hamilton). Integrale di Lebesgue. Successioni e serie reali, successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme. Spazi metrici e normati. Equazioni differenziali ordinarie.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali. E' normalmente disponibile un tutoraggio.
Materiale di riferimento
Online nel sito https://lmolinarimmf.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx e` disponibile il manuale (stampato da CUSL), insieme a una collezione di esercizi e temi di esame, alcuni con soluzioni a link a manuali della biblioteca digitale UniMi.
Lezioni registrate, esercizi e appunti sono nel sito ARIEL del corso dell'a.a. 2019-2020
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame scritto di 3H in date di appello consistente in 4 esercizi. Un esercizio e` valutato corretto se e` corredato da adeguate spiegazioni. Normalmente, un esercizio corretto garantisce la sufficienza. Durante la prova e` permessa la consultazione dei manuali messi a disposizione. I risultati dello scritto sono resi noti con elenco contenente il solo numero di matricola. Lo studente che si presenta a una prova successiva ad una gia` sostenuta e non registrata, automaticamente rifiuta il voto della precedente.
Se il voto e` non inferiore a 25/30, lo studente ha facoltà di integrare l'esame con un colloquio con argomento a scelta e domande per accertare la conoscenza degli aspetti fondamentali del corso.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 7
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 40 ore

CORSO B

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Gli appunti del docente che comprendono tutti i passaggi delle derivazioni matematiche verranno messi a disposizione degli studenti per ogni lezione.
Video esplicativi del materiale verranno caricati su Google Drive, e laddove possibile su Ariel, in corrispondenza di ogni lezione in modalita' asincrona.
Programma
Analisi Complessa: funzioni olomorfe, mappe conformi, problemi di elettrostatica 2D, fogli di Riemann per funzioni polidrome, integrazione complessa, trasformata di Cauchy, funzione indice, teoremi di Cauchy, serie di potenze e di Laurent, singolarità isolate, teorema dei residui, continuazione analitica, funzione Gamma.
Analisi funzionale: spazi di Hilbert con esempi, polinomi ortogonali, basi ortonormali (Hermite, Legendre), elementi di teoria degli operatori lineari limitati (operatore aggiunto, unitario, proiettore, funzioni di operatori), aggiunto di operatore non limitato con esempi, serie di Fourier (convergenza puntuale e in norma), spazi S delle funzioni a decrescenza rapida e S' delle distribuzioni temperate, trasformata integrale di Fourier negli spazi S, S', L1 e L2, inversione e convoluzione. Teorema di Riemann-Lebesgue. Teoria delle distribuzioni e identita' di Plemelj.
Prerequisiti
Algebra lineare (spazi vettoriali reali e complessi; matrici Hermitiane, unitarie, ortogonali; autovettori e autovalori; teorema di Cayley-Hamilton). Integrale di Lebesgue. Successioni e serie reali, successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme. Spazi metrici e normati. Equazioni differenziali ordinarie.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali (alla lavagna con dettagliata presentazione di tutte le derivazioni). E' normalmente disponibile un tutoraggio.
Materiale di riferimento
Testi di riferimento:
- C. W. Wong "Introduction to Mathematical Physics", Oxford University Press
- K. Cahill, "Physical Mathematics", Cambridge University Press
- G. B. Arfken, H.J. Weber, "Mathematical methods for physicists", Elsevier
- G. Cicogna, "Metodi matematici della fisica", Springer
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame scritto di 3H in date di appello consistente in 4-5 esercizi. Un esercizio e` valutato corretto se e` corredato da adeguate spiegazioni. Normalmente, un esercizio corretto garantisce la sufficienza. Durante la prova e' permessa la consultazione dei manuali messi a disposizione. I risultati dello scritto sono resi noti con elenco contenente il solo numero di matricola. Lo studente che si presenta a una prova successiva ad una gia` sostenuta e non registrata, automaticamente rifiuta il voto della precedente.
Se il voto supera 24/30, lo studente ha facoltà di integrare l'esame con un colloquio con argomento a scelta e domande per accertare la conoscenza degli aspetti fondamentali del corso.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 7
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 40 ore
Docente: Zaccone Alessio

CORSO C

Edizione non attiva
Periodo
Secondo semestre
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 7
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 40 ore