Modellistica geofisica e ambientale

1) Sviluppo e applicazione di un modello.
2) Equazioni prototipali: principi di conservazione e leggi fenomenologiche; equazioni differenziali a derivate parziali prototipali.
3) Metodi delle differenze finite e dei volumi finiti per la soluzione delle equazioni di flusso e trasporto. Accuratezza e convergenza; analisi di stabilità di Von Neumann; condizione di Courant-Friedrichs-Lewy; metodo dei volumi finiti o differenze finite integrate; griglie staggerd; metodi di soluzione di grandi sistemi di equazioni lineari lineari (eliminazione gaussiana; surrilassamento successivo; gradiente coniugato pre-condizionato); schemi esplicito, implicito e di Crank-Nicolson per equazioni paraboliche; modelli a innesto.
4) Analisi spettrale. Segnali e sistemi; trasformata di Fourier (rappresentazione di segnali e sistemi a tempo discreto nel dominio della frequenza; campionamento); trasformata di Fourier discreta (rappresentazione di segnali periodici e di lunghezza finita; spettro di potenza).
5) Proprietà fondamentali dei metodi spettrali e del metodo degli elementi finiti per la soluzione delle equazioni differenziali a derivate parziali: approcci ai residui pesati e variazionale.
6) Richiami di statistica e di teoria della probabilità. Elementi di teoria dei processi stocastici.
7) Modellazione del trasporto di soluti. Soluzioni analitiche dell'equazione del trasporto. Modelli lagrangiani: metodo del tracciamento delle particelle (metodo di Runge-Kutta per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie). Modelli stocastici (Metodi Monte Carlo basati sulla teoria di Kolmogorov-Dmitriev dei processi stocastici ramificati; cammino casuale a tempo discreto).
8) Data mining e analisi dei dati.
Metodi di regressione lineare. Analisi multivariata (analisi delle componenti principali e analisi dei fattori); clustering; wavelets; applicazioni dei processi stocastici (interpolazione con Kriging, filtro di Kalman; catene di Markov); reti neurali.
9) Calibrazione dei modelli attraverso soluzione di problemi inversi. Definizione e proprietà del problema inverso discreto; lo spazio nullo; uso di informazioni a priori e minimi quadrati pesati; approccio bayesiano e metodo della massima verosimiglianza; algoritmi di ottimizzazione basati sul gradiente (metodo di Newton; algoritmo di Levenberg-Marquardt); metodi di ottimizzazione globale (algoritmi genetici; evoluzione differenziale; simulated annealing); analisi di sensibilità (approccio "one-at-a-time"; equazione di stato-aggiunto; sensitività del primo ordine).

Progetti degli studenti. Ciascuno studente dovrà completare un progetto sviluppando codici originali o applicando codici già disponibili (ad esempio, Princeton Ocean Model, il pacchetto CALMET/CALPUFF/CALGRID, il pacchetto MODFLOW/MODPATH).

Corso breve opzionale
* A tutorial on Sobolev spaces and weak solutions of partial differential equations
- Weak derivatives and Wk,p Sobolev spaces;
- Weak solutions to elliptic partial differential equations/boundary value problems.
* The inverse problem of identifying the leading coefficient of the prototypical elliptic equation: 1. Classical results and difficulties
- Calderón's inverse conductivity problem: the state-of-the-art until 2000;
- Determining the conductivity in transport media: integration along characteristic lines.
* The inverse problem of the identification of the leading coefficient of the prototypical elliptic equation: 2. Recent results
- Results on Calderón's problem in the third millennium;
- Univalent sigma-harmonic mappings and their relevance to inverse problems.
* The inverse problem for the prototypical reduced wave equation
- The Helmholtz equation;
- Full waveform inversion.