Probabilità
A.A. 2020/2021
Obiettivi formativi
Fornire le nozioni e gli strumenti di base del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. L'insegnamento si propone di fornire agli studenti i fondamenti della materia al livello richiesto per gli insegnamenti che seguiranno nel loro curriculum.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per gli studi ulteriori nell'ambito della probabilità, della statistica, dei processi stocastici, del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (leggi dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per gli studi ulteriori nell'ambito della probabilità, della statistica, dei processi stocastici, del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (leggi dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti avranno acquisito i fondamenti di teoria della probabilità necessari per ogni ulteriore approfondimento di tipo matematico o applicativo, sia nella direzione della statistica matematica sia per lo studio dei processi stocastici o del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
PROGRAMMA E MATERIALE DI RIFERIMENTO
Programma e materiale di riferimento non subiranno variazioni.
METODI DIDATTICI
L'attività didattica relativa a lezioni e esercitazioni sarà a distanza.
le lezioni si terranno in modalità sincrona o asincrona.
In modalità sincrona le lezioni si terranno mediante l'uso della piattaforma Microsoft Teams o Zoom, e saranno videoregistrate.
Verrà anche sperimentata una diversa modalità, di tipo asincrono: videoregistrazioni delle lezioni saranno rese disponibili in anticipo e nelle ore dell'orario ufficiale il docente rivedrà il materiale commentandolo ulteriormente, approfondendolo e
oppure rispondendo a domande.
Le modalità di svolgimento delle esercitazioni saranno le stesse delle lezioni.
Sul sito Ariel del corso saranno caricate, e rese disponibili per l'intero anno accademico, tutte le registrazioni di lezioni e esercitazioni (sincrone e asincrone), assieme ai fogli elettronici prodotti durante tali registrazioni (lucidi, slide in formato latex, manoscritti eccetera).
MODALITA' DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO
Gli esami saranno a distanza.
La parte scritta si svolgerà mediante la piattaforma exam.net, con le modalità indicate nel portale dell'ateneo. Durante lo svolgimento della prova scritta gli studenti dovranno anche essere presenti in videoconferenza e inquadrati in modo opportuno mediante uno smartphone.
Per la parte orale dell'esame gli studenti saranno collegati e inquadrati mediante un computer, e allo stesso tempo useranno uno smartphone per inquadrare il foglio usato per scrivere formule o enunciati.
I collegamenti in videoconferenza per l'esame si terranno mediante piattaforma MS Teams o Zoom, ma diverse soluzioni tecniche per il collegamento saranno ammesse a seconda delle circostanze, ad esempio se è disponibile una tavoletta grafica per la scrittura.
NOTA
In dipendenza dall'evoluzione della situazione sanitaria si potranno apportare variazioni a quanto scritto sopra, che saranno comunicate sul sito Ariel del corso.
Programma e materiale di riferimento non subiranno variazioni.
METODI DIDATTICI
L'attività didattica relativa a lezioni e esercitazioni sarà a distanza.
le lezioni si terranno in modalità sincrona o asincrona.
In modalità sincrona le lezioni si terranno mediante l'uso della piattaforma Microsoft Teams o Zoom, e saranno videoregistrate.
Verrà anche sperimentata una diversa modalità, di tipo asincrono: videoregistrazioni delle lezioni saranno rese disponibili in anticipo e nelle ore dell'orario ufficiale il docente rivedrà il materiale commentandolo ulteriormente, approfondendolo e
oppure rispondendo a domande.
Le modalità di svolgimento delle esercitazioni saranno le stesse delle lezioni.
Sul sito Ariel del corso saranno caricate, e rese disponibili per l'intero anno accademico, tutte le registrazioni di lezioni e esercitazioni (sincrone e asincrone), assieme ai fogli elettronici prodotti durante tali registrazioni (lucidi, slide in formato latex, manoscritti eccetera).
MODALITA' DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO
Gli esami saranno a distanza.
La parte scritta si svolgerà mediante la piattaforma exam.net, con le modalità indicate nel portale dell'ateneo. Durante lo svolgimento della prova scritta gli studenti dovranno anche essere presenti in videoconferenza e inquadrati in modo opportuno mediante uno smartphone.
Per la parte orale dell'esame gli studenti saranno collegati e inquadrati mediante un computer, e allo stesso tempo useranno uno smartphone per inquadrare il foglio usato per scrivere formule o enunciati.
I collegamenti in videoconferenza per l'esame si terranno mediante piattaforma MS Teams o Zoom, ma diverse soluzioni tecniche per il collegamento saranno ammesse a seconda delle circostanze, ad esempio se è disponibile una tavoletta grafica per la scrittura.
NOTA
In dipendenza dall'evoluzione della situazione sanitaria si potranno apportare variazioni a quanto scritto sopra, che saranno comunicate sul sito Ariel del corso.
Programma
1) Teoria della probabilità.
Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Probabilità e variabili aleatorie in modelli di esperimenti con un numero finito o numerabile di esiti. Probabilità sull'insieme dei numeri reali.
2) Variabili aleatorie.
Variabili aleatorie e loro leggi. Integrazione rispetto a una misura di probabilità. Valore atteso e momenti. Vettori aleatori e leggi multivariate. Indipendenza di variabili aleatorie. Esempi di variabili aleatorie usate nei principali modelli probabilistici. Funzioni caratteristiche. Leggi gaussiane multivariate, campioni gaussiani.
3) Convergenza di variabili aleatorie.
Convergenza quasi certa, in probabilità, in media di ordine p. Leggi dei grandi numeri. Convergenza debole delle misure di probabilità. Funzioni caratteristiche e convergenza in legge. Teorema centrale del limite. Applicazioni alla statistica.
4) Valore atteso condizionato.
Definizione generale di valore atteso condizionato rispetto a una sigma-algebra. Probabilità condizionate e leggi condizionate. Leggi condizionate per vettori gaussiani.
Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Probabilità e variabili aleatorie in modelli di esperimenti con un numero finito o numerabile di esiti. Probabilità sull'insieme dei numeri reali.
2) Variabili aleatorie.
Variabili aleatorie e loro leggi. Integrazione rispetto a una misura di probabilità. Valore atteso e momenti. Vettori aleatori e leggi multivariate. Indipendenza di variabili aleatorie. Esempi di variabili aleatorie usate nei principali modelli probabilistici. Funzioni caratteristiche. Leggi gaussiane multivariate, campioni gaussiani.
3) Convergenza di variabili aleatorie.
Convergenza quasi certa, in probabilità, in media di ordine p. Leggi dei grandi numeri. Convergenza debole delle misure di probabilità. Funzioni caratteristiche e convergenza in legge. Teorema centrale del limite. Applicazioni alla statistica.
4) Valore atteso condizionato.
Definizione generale di valore atteso condizionato rispetto a una sigma-algebra. Probabilità condizionate e leggi condizionate. Leggi condizionate per vettori gaussiani.
Prerequisiti
Sono richieste alcune nozioni acquisite nei corsi di Analisi Matematica 1, 2 e 3, in particolare teoria dell'integrazione (compresi integrali impropri, multipli, e cambi di variabili) e successioni di funzioni. Si usano anche nozioni di base in teoria delle matrici (prodotti, matrici ortogonali, matrici definite positive ecc.), insegnate nel corso di Geometria 1. Durante il corso vengono richiamati e utilizzati concetti e risultati di teoria della misura, che sono trattati in modo sistematico nel corso di Analisi Matematica 4.
Metodi didattici
Lezione frontale.
La frequenza a lezioni ed esercitazioni non è obbligatoria, ma è molto consigliata.
La frequenza a lezioni ed esercitazioni non è obbligatoria, ma è molto consigliata.
Materiale di riferimento
Libro di testo:
J. Jacod, Ph. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2nd ed.
Altro materiale didattico su argomenti particolari delle lezioni sarà costituito da dispense del docente, disponibili liberamente sul sito internet del corso.
Saranno anche resi disponibili schede con esercizi e temi d'esame assegnati nelle edizioni passate del corso.
Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
A.F. Karr. Probability. Springer, 1993.
P. Baldi. Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill, 2007.
P. Baldi, R. Giuliano, L. Ladelli. Laboratorio di Statistica e Probabilità, problemi svolti. McGraw Hill, 1995.
J. Jacod, Ph. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2nd ed.
Altro materiale didattico su argomenti particolari delle lezioni sarà costituito da dispense del docente, disponibili liberamente sul sito internet del corso.
Saranno anche resi disponibili schede con esercizi e temi d'esame assegnati nelle edizioni passate del corso.
Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
A.F. Karr. Probability. Springer, 1993.
P. Baldi. Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill, 2007.
P. Baldi, R. Giuliano, L. Ladelli. Laboratorio di Statistica e Probabilità, problemi svolti. McGraw Hill, 1995.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi collegati al programma del corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sulla pagina internet del corso.
Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame con un voto adeguato. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati.
Il voto finale tiene conto della valutazione di entrambe le prove e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Una descrizione molto dettagliata delle modalità di esame sarà resa disponibile subito dopo l'inizio delle lezioni sulla pagina internet del corso.
Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi collegati al programma del corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sulla pagina internet del corso.
Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame con un voto adeguato. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati.
Il voto finale tiene conto della valutazione di entrambe le prove e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Una descrizione molto dettagliata delle modalità di esame sarà resa disponibile subito dopo l'inizio delle lezioni sulla pagina internet del corso.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Fuhrman Marco Alessandro, Maurelli Mario
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.