Argomenti avanzati di calcolo stocastico

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
47
Ore totali
SSD
MAT/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Lo scopo dell'insegnamento è di approfondire la conoscenza del calcolo stocastico, estendendo lo studio dell'integrale stocastico dal moto Browniano a martingale locale continue qualsiasi. Inoltre, sulla base di questa estensione, verranno dimostrati altri importanti risultati tra cui i seguenti: versione generale del teorema di Girsanov, tempi locali e formula di Tanaka come estensione della formula di Ito, soluzioni deboli di equazioni differenziali stocastiche e problema della martingala di Stroock-Varadhan, propagazione del caos per sistemi di particelle di tipo campo medio.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza approfondita del calcolo stocastico per semimartingale continue (anche in contesti non regolari) con un introduzione ai teoremi limite per sistemi di particelle interagenti di tipo campo medio.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22, verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria
Programma
Parte I. Richiami di teoria delle martingale continue e processi a variazione finita.

Parte II. Integrale stocastico rispetto a semimartingale continue, formula di Ito, teorema di Dumbis-Dubins-Schwarz sul cambiamento di tempo, teorema di Girsanov generalizzato.

Parte III. Formula di Ito-Tanaka-Meyer, tempi locali di semimartingale continue, formula di densità d'occupazione.

Parte IV. Soluzioni deboli di equazioni differenziali stocastiche (EDS), problema della martingala di Stroock-Varadhan.

Parte V. Introduzione ai modelli di campo medio: EDS non lineari del tipo McKean-Vlasov, propagazione del caos.

Parte VI. (Se ci sarà tempo) Introduzione alla teoria delle grandi deviazioni.
Prerequisiti
1) Nozioni avanzate di probabilità.
2) Integrale stocastico rispetto al moto Browniano.
3) Equazioni differenziali stocastiche (soluzioni forti).
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
1) O. Kallenberg: "Foundations of Modern Probability", Springer, 2002.
2) I. Karatzas, S. Shreve: "Brownian motion and stochastic calculus", Springer, 1998.
3) J.-F. Le Gall: "Brownian Motion, Martingales and Stochastic Calculus", Springer, 2016.
4) D. Revuz, M. Yor: "Brownian Motion and Continuous Martingales", Springer, 1999.
Altri riferimenti verranno dati duranti il corso.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Orale sul programma del corso. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 35 ore
Docente: Campi Luciano
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1040, Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50, 20133 Milano