Calcolo stocastico ed applicazioni

A.A. 2021/2022
9
Crediti massimi
73
Ore totali
SSD
MAT/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è quello di fornire un'introduzione ai metodi del calcolo stocastico, con particolare riferimento al calcolo alla Ito.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, con particolare riferimento alla classe dei processi di Markov, e quindi al processo di Wiener, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Viene fornita una costruzione dell'integrale di Ito, sia in L2 sia come limite in probabilità. Il corso si dedica anche allo studio delle proprietà di martingalità del processo di Ito che seguono a cascata da quelle del processo di Wiener. Di particolare interesse è l'analisi delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali alla Ito ed ai legami con le PDE.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici. Particolare attenzione è data alle applicazioni alla Finanza, alla Biologia ed alla Ingegneria.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà dei processi stocastici di Markov, e del processo di Wiener; è capace di cogliere le principali proprietà probabilistiche relative alla costruzione dell'integrale di Ito, in particolare relative alla marginalità. Conosce le principali proprietà delle equazioni differenziali alla Ito e le relazioni con le PDE. Vede dei primi esempi di modellizzazione stocastica dell'aleatorietà in sistemi già noti da un punto di vista deterministico. Sa simulare sistemi di equazioni differenziali stocastiche e quantificare le proprietà delle soluzioni attraverso delle procedure statistiche.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Teoria del calcolo stocastico
1.1. Il processo di Wiener o moto browniano
- Definizione e prime proprietà del moto browniano (MB)
- Proprietà delle traiettorie del MB
- Il caso multidimensionale

1.2. Integrale di Ito
- Definizioni e proprietà
- Integrali stocastici come martingale locali
- La formula di Ito e applicazioni
- Criterio di Lévy per il MB
- Integrale stocastico multi-dimensionale

1.3. Equazioni differenziali stocastiche (EDS)
- Soluzioni forti e deboli delle EDS
- Esistenza e unicità delle soluzioni forti
- La proprietà di Markov delle soluzioni
- Proprietà di flusso delle soluzioni
- Risoluzione di SDE lineari

1.4 EDS e EDP
- Problemi di Dirichlet e di Cauchy
- Il Teorema di Feynman-Kac
- Equazioni backward e forward di Kolmogorov

1.5 Cambio di probabilità e martingale browniane
- Martingale esponenziali
- Teorema di Girsanov
- Formula di Cameron-Martin
- Teorema di rappresentazione delle martingale browniane


LABORATORIO

2. Generazione e simulazione di Processi Stocastici
2.1. Simulazione di variabili aleatorie
2.2. Processi stocastiche e Passeggiate Aleatorie
- Simulazione e studio attraverso stime di parametri e distribuzioni
- Riscalamento di passeggiate aleatorie
2.3. Moto browniano
- Proprietà.
- Variazione quadratica
- Studio della differenziabilità del moto browniano
2.4. Simulazione dell'integrale stocastico
- Ito vs Stratonovich. Il lambda integrale.
2.5. Simulazioni di equazioni differenziali stocastiche (SDE)
2.5.1 Metodi di Eulero-Maruyama, Milstein
2.5.2 Convergenza (forte e debole). Consistenza. Stabilità.
2.6. Studio di esempi ed applicazioni
Prerequisiti
Conoscenze delle basi della teoria della probabilità (in particolare, la costruzione degli spazi di probabilità, vettori aleatori reali, valore atteso condizionato e dei vari tipi di convergenza) e dei processi stocastici (martingale e processi di Markov). E' fortemente consigliato l'aver seguito i corsi di Probabilità e di Probabilità Avanzata.
Metodi didattici
Le lezioni saranno tenute in aula con l'ausilio della lavagna classica.
Le lezioni di laboratorio saranno tenute in aula informatizzata.
Materiale di riferimento
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, 2017

Altre Referenze:
- Karatzas, Shevre, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1988
- F. Caravenna, Moto Browniano e Analisi Stocastica, 2011. Dispense sul web.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame prevede

- una valutazione dell'attività di laboratorio;
- un colloquio orale sulla parte di teoria.

Per gli studenti frequentanti il voto del laboratorio tiene conto del grado di partecipazione dello studente a tutte le attività di laboratorio e della valutazione quantitativa degli ultimi due homework. Il voto sarà espresso in trentesimi.

Per tutti gli altri studenti è invece previsto un piccolo report su un lavoro assegnato dal docente e nel rispondere per iscritto a una o più domande riguardanti metodi e procedimenti illustrati nel laboratorio; il report va consegnato di norma una settimana prima della prova orale, mentre la prova scritta con domande aperte va sostenuta lo stesso giorno della prova orale, precede il colloquio orale e sarà valutata anch'essa con la scala trentesimi.

Il colloquio orale verterà su tutta la teoria discussa in aula.

Il voto finale sarà dato da una media pesata dai crediti.
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1040, Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50, 20133 Milano
Ricevimento:
Martedì 10-12 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Via Saldini 50, secondo piano