Complementi di matematica e calcolo numerico

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
64
Ore totali
SSD
MAT/01 MAT/02 MAT/03 MAT/04 MAT/05 MAT/06 MAT/07 MAT/08 MAT/09
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Gli obiettivi dell'insegnamento sono: completare le conoscenze di Matematica dello studente, con lo studio di alcuni problemi ubiquitari nelle scienze applicate; fornire allo studente le basi delle tecniche numeriche di risoluzione dei problemi matematici di interesse applicativo; fornire allo studente gli strumenti di base necessari per un utilizzo critico e consapevole di software per il calcolo scientifico.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisira' una buona conoscenza dei fondamenti matematici dell'algebra lineare, della statistica descrittiva e del calcolo numerico; sara' in grado di inquadrare alcuni problemi matematici di interesse applicativo; sara' in grado di utilizzare correttamente il software per il Calcolo Scientifico per elaborare dati e simulare semplici problemi in ambito chimico.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Le lezioni si svolgeranno in modalità sincrona.
Nelle pagine del corso sul sito di ARIEL saranno caricati:
- appunti dettagliati dei contenuti di ciascuna lezione in format Acrobat Reader
- video della registrazione della lezione e del desktop del docente

Nel caso delle esercitazioni in Excel è prevista la modalità asincrona per la fase di spiegazione e la modalità sincrona per la fase di svolgimento guidato degli esercizi e per approfondire e rivedere quanto proposto in modalità
asincrona.

Tutto il materiale didattico e gli avvisi relativi a qualsiasi aggiornamento legato all'evoluzione della normativa imposta dal Covid-19 saranno pubblicati nelle pagine del corso sul sito di ARIEL.

Il programma e il materiale di riferimento non subiranno variazioni.
Le modalità di verifica dell'apprendimento e criteri di valutazione non subiranno variazioni.
Le modalità di svolgimento delle prove saranno pubblicate nelle pagine del corso sul sito di ARIEL.
Programma
Statistica descrittiva: concetti e definizioni di base (popolazione, unità statistica, carattere, modalità). Variabili numeriche (discrete, continue), non numeriche. Distribuzione di frequenza (assoluta, relativa, percentuale, cumulata). Raggruppamento di dati in classi: range, ampiezza della classe, classi aperte/chiuse a destra/sinistra. Esempi di grafici delle distribuzioni di frequenza: circolare, a barre, istogrammi. Indici di posizione: media, mediana, moda. Media aritmetica, pesata e per dati raggruppati in classi. Devianza, varianza, scarto quadratico medio. Coefficiente di variazione CV e CV%. Media quadratica, geometrica, armonica. Calcolo della mediana, di decili, quartili, percentili per dati discreti (caso finito) e per dati raggruppati in classi (caso continuo). Concetto di probabilità. Variabile aleatoria, distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione (caso discreto). Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria discreta. Variabili aleatorie continue. Distribuzione uniforme: valore atteso e varianza. Distribuzione normale: studio delle proprietà della densità di probabilità al variare dei parametri. Calcolo della probabilità di dati con distribuzione normale. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria Y ottenuta da trasformazioni di una variabile aleatoria X con parametri noti: Y=aX+b.
Retta di regressione, metodo dei minimi quadrati nel discreto. Covarianza, coefficiente di correlazione lineare. Metodo per ricavare i coefficienti del polinomio dei minimi quadrati discreti di grado 2. Linearizzazione di modelli non lineari per il calcolo della retta di regressione.

Il problema dell'interpolazione polinomiale. Dimostrazione del teorema di unicità. Costruzione del polinomio di interpolazione con il metodo di Vandermonde e con il metodo di Lagrange. Errore di interpolazione. Controesempio di Runge. Concetto di interpolazione ed estrapolazione. Spline lineari: definizione, regolarità, costruzione mediante la base. Spline cubiche: definizione, regolarità.

Derivazione numerica: approssimazione della derivata in avanti, all'indietro, formula del punto medio, approssimazione della derivata seconda, richiami sullo sviluppo di Taylor e formula dell'errore.

Formule di quadratura (FQ) per l'approssimazione di integrali definiti: rettangoli, punto medio, trapezi, Cavalieri-Simpson. Formule di quadratura di Newton-Cotes: nodi, pesi, FQ aperte e chiuse, grado di precisione. Formule di quadratura composite; formule dell'errore. Calcolo dei pesi delle formule di quadratura dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.

Introduzione all'approssimazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero esplicito e implicito: costruzione geometrica, con lo sviluppo di Taylor, mediante l'approssimazione delle derivate e con formule di quadratura. Metodi di Crank-Nicolson e di Heun. Definizione ed esempi di stabilità e instabilità assoluta, definizione di convergenza.

Approssimazione di zeri di funzione: il metodo di bisezione, di Newton, delle corde e delle secanti. Ordine di convergenza. Test d'arresto. Teorema di convergenza globale del metodo di Newton. Esempi di metodi iterativi di punto fisso.

Richiami sui vettori nel piano e nello spazio (R2 e R3): modulo, direzione, verso; rappresentazione geometrica; notazioni; vettore nullo; somma e moltiplicazione per uno scalare (definizione, proprietà, costruzione geometrica); versori e vettori della base i,j; componenti e rappresentazione cartesiana; distanza tra due punti.
Vettori paralleli e ortogonali. Prodotto scalare. Norme di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Ortogonalità dei versori fondamentali i,j,k. Alcune generalizzazioni a R^n.

Richiami sulle matrici in R(mxn): definizione, matrici uguali, somma e prodotto per un numero reale, matrice nulla, matrice identità, matrice opposta, vettori riga e colonna, matrici diagonali e triangolari, matrice trasposta, matrici simmetriche. Prodotto (matrice)x(vettore), (matrice)x(matrice): definizione, proprietà, esempi. Norme di matrici: definizione, proprietà, norma-1 e norma infinito.
Prodotto di matrici diagonali, tridiagonali, triangolari. Determinante di una matrice 2x2 e 3x3. Proprietà del determinante. Definizione di matrice inversa. Sistemi lineari Ax=b 2x2, 3x3, cenni ai sistemi nxn. Sistemi omogenei. Sistemi compatibili (determinati e indeterminati) e incompatibili (impossibili). Numero di condizionamento di una matrice quadrata. Studio del condizionamento di un sistema lineare nel caso particolare di perturbazione del termine noto. Sottomatrici quadrate, minore e rango di una matrice, matrice orlata [A|b]. Teorema di Rouchè-Capelli (caso particolare A(nxn) senza dimostrazione). Esempi di sistemi 2x2 e 3x3 determinati, indeterminati e impossibili. Gradi di libertà. Definizione di autovalori e autovettori. Calcolo di autovalori di matrici 2x2 e 3x3. Norma 2 di matrice e condizionamento in norma 2. Il metodo di eliminazione di Gauss. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. Condizioni di dipendenza e indipendenza lineare di n vettori di R^m. Richiami sull'equazione parametrica e cartesiana della retta in R^3, sull'equazione del piano e rette e piani paralleli e ortogonali.
Prerequisiti
Insiemi numerici. Funzioni elementari. Successioni reali. Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di variabile reale in 1D e 2D. Equazioni differenziali ordinarie. Elementi di calcolo vettoriale e matriciale.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali. Esercitazioni in aula informatizzata.
Materiale di riferimento
[Web site]: https://ariel.unimi.it/

1) M. Garetto - Dispensa in formato pdf (per gli argomenti di Statistica)
2) E. Zampieri - Dispensa in formato pdf (per gli argomenti di Calcolo Numerico)
3) M.Bramanti, C.D. Pagani, S.Salsa - MATEMATICA Calcolo Infinitesimale e algebra lineare (seconda edizione) - ZANICHELLI
(per gli argomenti di Algebra Lineare e Geometria analitica lineare nello spazio: Cap. 2)
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consisterà in: una prova scritta, una prova da svolgere in Excel, una breve prova orale.
Le tre prove devono essere sostenute nel medesimo appello.
Nella prova scritta si può acquisire un punteggio massimo di 24 ed è superata se si ottiene un punteggio maggiore o uguale a 14.
La prova scritta prevede:
1) 6 esercizi di difficoltà uguale o inferiore a quelli presentati nel corso delle lezioni, di cui sarà richiesta la consegna del risultato numerico e dei passaggi svolti. (Punteggio massimo 20)
2) 4 domande teoriche (per esempio: conoscenza di una formula o di una definizione). (Punteggio massimo 4)

Nella prova Excel si può acquisire un punteggio massimo di 6 ed è superata se si ottiene un punteggio maggiore o uguale a 3.
Nella prova orale si può acquisire un punteggio massimo di 3 punti. L'esito della prova orale può aumentare, o confermare, o ridurre il voto delle prove scritte o anche decretare il non superamento dell'intera prova d'esame, che dovrà quindi essere ripetuta interamente nei successivi appelli.
La prova orale, di breve durata, verte sia su argomenti delle Lezioni ed Esercitazioni, sia su argomenti del laboratorio informatico.

Nelle prime due prove non sono previsti punteggi negativi in caso di risposte errate.
Al fine di essere ammessi alla prova orale è sufficiente aver ottenuto il punteggio minimo richiesto in ciascuna delle prime due prove.
L'attribuzione della lode è a discrezione della Commissione.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 0
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 0
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 0
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 0
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/08 - ANALISI NUMERICA - CFU: 0
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA - CFU: 0
Esercitazioni: 16 ore
Laboratori: 16 ore
Lezioni: 32 ore
Turni:
Docente: Zampieri Elena
Corso A
Docente: Fierro Francesca
Corso B
Docente: Bressan Nicoletta
Docente/i
Ricevimento:
vedi pagina personale
Dipartimento di Matematica - studio 1025
Ricevimento:
su appuntamento via email