Elaborazione dei segnali

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
60
Ore totali
SSD
INF/01
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento si pone l'obiettivo di fornire le competenze teoriche di base della teoria dei segnali a tempo continuo e dell'elaborazione numerica dei segnali a tempo discreto tramite sistemi lineari tempo-invarianti.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisirà le competenze teoriche necessarie per campionare un segnale tempo-continuo; inoltre saprà rappresentare un segnale tempo-discreto nel dominio delle frequenze; infine saprà analizzare e progettare un filtro lineare tempo-invariante per manipolare segnali tempo-discreti.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Metodi didattici
Le lezioni si terranno sulla piattaforma Microsoft Teams e potranno essere seguite sia in sincrono, sulla base dell'orario delle lezioni, sia in asincrono, dal momento che saranno registrate e lasciate a disposizione degli studenti sulla medesima piattaforma.

Programma e materiale di riferimento
Il programma e il materiale di riferimento non subiranno variazioni.

Modalità di verifica dell'apprendimento e criteri di valutazione:
Gli esami a distanza saranno svolti con l'utilizzo della piattaforma exam.net, con le modalità illustrate sul portale dell'Ateneo. La prova scritta avrà la medesima struttura. Vista la complessità della supervisione a distanza dell'esame, la durata della prova sarà ridotta a 1:30 ore (con una corrispondente riduzione delle domande assegnate). L'orale si svolgerà sul canale Microsoft Teams del corso.
Programma
PROGRAMMA DETTAGLIATO DEL CORSO

PARTE PRIMA

· Introduzione
o Definizione di segnale e sistema.
o Tempo-continuo vs tempo-discreto.
o Segnali periodici e principali identità trigonometriche (ripasso).
o Numeri complessi (ripasso). Formula di Eulero diretta e inversa.

· Segnali tempo-continui
· Segnali costituiti dalla composizione lineare di un numero finito di segnali cosinusoidali
o Formula di composizione lineare (SINTESI) che utilizza gli esponenziali complessi.
o Definizione di spettro. Rappresentazione come modulo e fase oppure parte reale e immaginaria.
o Proprietà dello spettro di un segnale: moltiplicazione per una costante, somma con una costante, somma di due segnali, traslazione temporale, derivata, moltiplicazione per un esponenziale complesso.
o Segnali composti dalla somma di due sinusoidi. Caso 1, frequenza identiche. Caso 2, frequenze leggermente diverse e battimenti (beat tones).
o Modulazione di ampiezza (introduzione).
· Segnali periodici costituiti dalla composizione lineare di segnali cosinusoidali aventi frequenze armoniche
o Definizione di periodo di un segnale periodico e di frequenze armoniche della fondamentale.
o Serie di Fourier: formule di analisi e sintesi per un segnale tempo-continuo periodico.
o Esempio di serie di Fourier: segnale seno rettificato, onda sawtooth e segnale ad impulsi.
o Spettro di un segnale periodico.
o Condizioni di Dirichlet di esistenza della serie di Fourier.
o Ricostruzione approssimata per troncamento della serie di Fourier. Errore massimo e fenomeno di Gibb in presenza di discontinuità finite. Errore quadratico medio.
o Formula (o teorema) di Parseval.
o Prodotto scalare in uno spazio vettoriale e nella rappresentazione cartesiana. Ortogonalità di due vettori (ripasso).
o Ortogonalità di due funzioni tempo-continue periodiche (definizione). Ortogonalità di due esponenziali complessi aventi frequenze diverse. Interpretazione geometrica delle formule di analisi e sintesi della serie di Fourier.
· Integrazioni conclusive
o Definizione di funzione seno cardinale (definizione e proprietà).
o Definizione di frequenza istantanea. Modulazione di frequenza (cenni).
o Spettrogramma e collegamenti con la rappresentazione musicale.

· Dal tempo-continuo al tempo-discreto (e viceversa)
o Campionamento ideale di segnali tempo-continui (introduzione).
o Convertitore Analogico/Digitale (A/D) e suoi macroblocchi: campionatore e quantizzatore.
o Quantizzazione: cenni. Range, Least Significant Bit (LSB) e numero di bit.
o Definizione di frequenza e pulsazione discrete.
o Campionamento di segnali cosinusoidali quando il rapporto frequenza del segnale / frequenza di campionamento è costante.
o Equivalenza di cosinuosoidi discrete aventi frequenze multiple del periodo: alias e alias principale. Corrispondenza delle loro serie numeriche.
o Spettro di una cosinusoide discreta e sua periodicità.
o Ricostruzione di una sinusoide tempo continua campionata: ineluttabilità della ricostruzione del solo alias principale.
o Teorema del campionamento o di Shannon. Definizione di Nyquist rate e Nyquist frequency.
o Campionamento di una sinusoide tempo continua e la sua ricostruzione, alla luce del teorema del campionamento. Effetto di: sovra-campionamento; sotto-campionamento a frequenza maggiore, minore o uguale alla frequenza massima del segnale.
o Campionamento non corretto e artefatti dovuti alla sovrapposizione delle repliche spettrali (componenti ad alta frequenza che si propongono come componenti a bassa frequenza, genericamente definito come fenomeno di "alias").
o Ricostruzione (interpolazione) di segnali-discreti al fine di ottenere segnali tempo-continui (conversione D/A).
o Ricostruzione per mantenimento (Zero Order Hold, Z.O.H.) con polinomio di ordine zero.
o Interpolazione lineare. Implementazione tramite kernel triangolare. Cenni di interpolazione quadratica.
o Interpolazione lineare. Ricostruzione per interpolazione lineare. Interpolazione tramite un kernel di ricostruzione. Altri "kernel" di interpolazione. Definizione di interpolatore ottimo: andamento nel tempo e limitazioni al suo utilizzo pratico.

· Filtri digitali (prima parte)
o Introduzione ai sistemi a tempo-discreto e loro rappresentazione tramite equazione alle differenze.
o Caratterizzazione dei sistemi tempo-discreto: causalità, anti-causalità e a-causalità; linearità; tempo-invarianza.
o Segnali discreti notevoli: segnale impulso (delta di Kronecker); gradino causale e anticausale.
o Sistemi Lineari e Tempo Invarianti (LTI): risposta all'impulso; uscita del sistema ad un qualunque ingresso x[n] come convoluzione tra la risposta all'impulso e x[n].
o Proprietà dell'operazione di convoluzione: commutativa, associativa, distributiva rispetto alla somma. Elemento neutro della convoluzione.
o Sistemi Finite Impulse Response (risposta all'impulso finita o FIR) e Infinite Impulse Response (o IIR).
o Risposta di un sistema FIR quando l'ingresso è una cosinusoide. Definizione di risposta in frequenza e formula analitica per un sistema FIR. Proprietà della risposta in frequenza di un sistema LTI: periodicità e simmetria coniugata. Rappresentazione grafica del modulo e della fase (o parte reale e parte immaginaria) della risposta in frequenza
o Forma generica della equazione alle differenze di un sistema LTI: parte autoregressiva (o AR) e parte a media mobile (o MA). Constatazione che un sistema LTI con la sola parte MA è necessariamente FIR.
o Composizione di sistemi (cascata o serie; parallelo).
o Filtri ideali: definizione tramite caratterizzazione del modulo della risposta in frequenza.
o Esempi: risposta all'impulso e in frequenza di un sistema ritardo e amplificatore ideale; filtro passa basso e passa alto FIR con supporto compatto a tre campioni.
o Utilizzo di filtri digitali su segnali campionati (relazione tra frequenza di taglio discreta ed equivalente nel tempo-continuo).

PARTE SECONDA

· Trasformata di Fourier a Tempo Discreto (DTFT)
o Definizione. Formula di analisi: interpretazione in termini di prodotto scalare tra una base funzionale discreta e il segnale. Formula di sintesi (o trasformata inversa a tempo discreto di Fourier - IDTFT). "Dualità" tra DTFT e IDTFT.
o Proprietà della DTFT: periodicità e simmetria coniugata; linearità; unicità; ritardo temporale; ritardo in frequenza; convoluzione; riflessione o folding (segnale valutato in -n).
o Condizioni di esistenza della DTFT.
o Analogie tra la serie di Fourier e la DTFT.
o Esempi di DTFT: 1) impulso discreto (delta di Kronecker); 2) esponenziale causale decrescente; 3) DTFT di un segnale discreto modulato in ampiezza; 4) DTFT di un segnale "rettangolare" (o finestra rettangolare); 5) DTFT di una porzione di coseno tempo discreto; 6) DTFT di un coseno tempo discreto e suo spettro.
o Esempio IDTFT: funzione box e suoi casi limite (delta di Dirac e costante).
o Energia di un segnale tempo discreto. Teorema (o legge di conservazione) di Parseval.
o Definizione di correlazione: auto- e cross-correlazione. Filtraggio basato sulla convoluzione: "matched filter".
o Proprietà della correlazione: 1) NON è commutativa; 2) può essere calcolata utilizzando l'operazione di convoluzione.
o DTFT della funzione di autocorrelazione: definizione di densità spettrale. Cenni di dimostrazione della legge di conservazione di Parseval.

· Studio dei sistemi LTI nel domino delle frequenze
o Risposta in frequenza di un sistema come DTFT della risposta all'impulso. Uscita di un sistema LTI come prodotto della risposta in frequenza e della DTFT del segnale in ingresso. Equivalentemente: risposta in frequenza di un sistema LTI come rapporto tra la DTFT di y[n] e la DTFT di x[n].
o Uscita di un sistema LTI come composizione lineare degli effetti del sistema sulle singole (infinite) sinusoidi in cui la DTFT decompone il segnale di ingresso.
o Filtri ideali: definizione e modulo della loro DTFT.
o Operazione di correlazione e legame con la convoluzione.
o DTFT della correlazione di due segnali a tempo-discreto.

· Trasformata Discreta di Fourier e sue applicazioni
o DTFT di un segnale composto da un numero finito di campioni. Introduzione alla Trasformata Discreta di Fourier (DFT). DFT come operatore lineare (matriciale).
o Numero di campioni in frequenza e risoluzione spettrale. Utilizzo della DFT per l'approssimazione della DTFT in un numero finito di frequenze equispaziate tra 0 e 2π.
o DFT inversa (IDFT): definizione. Periodicizzazione implicita imposta alla sequenza x[n] dalla DFT inversa.
o DFT e proiezione del segnale tempo discreto a supporto compatto sulla base ortonormale periodica discreta di dimensione N. Parallelismo con serie di Fourier e DTFT.
o Proprietà della DFT: simmetria coniugata e periodicità di N campioni.
o Operazione di zero-padding (bordatura con zeri) di un segnale tempo-discreto.
o Implicazioni della periodicizzazione implicita imposta a x[n] dalla DFT: ritardo e traslazione circolare/periodica; convoluzione circolare e DFT. Zero padding come possibile rimedio allorquando si usa la IDFT per calcolare la convoluzione di due sequenze limitate nel tempo (evitando gli effetti della convoluzione circolare).
o Algoritmo Fast Fourier Transform (FFT): introduzione e idea fondamentale alla base dell'algoritmo di calcolo. Stima del numero di moltiplicazioni necessarie per la DFT secondo definizione o utilizzando l'algoritmo FFT.
o Estensione del teorema di Parseval ai coefficienti della DFT.

· Filtri digitali (seconda parte)
o Filtraggio nel tempo e filtraggio in frequenza.
o Soluzione iterativa di equazione alle differenze autoregressiva del primo ordine.
o Sistemi IIR: i) calcolo della risposta in frequenza come DTFT della risposta all'impulso; ii) calcolo della risposta in frequenza tramite il calcolo della DTFT dell'equazione alle differenze; iii) risposta in frequenza di un filtro LTI a partire dall'equazione alle differenze completa.

· Trasformata zeta e sue applicazioni ai sistemi LTI
o Trasformata zeta: definizione.
o Esempi di trasformata zeta: 1) Segnale a supporto compatto; 2) Esponenziale causale e anticausale: definizione della regione di convergenza (ROC) della trasformata zeta.
o Proprietà della trasformata zeta: 0) unicità (includendo la R.O.C); 1) linearità; 2) ritardo temporale; 3) convoluzione; 4) simmetria radiale della R.O.C.
o Funzione di trasferimento come trasformata zeta della risposta all'impulso ed, equivalentemente, come rapporto delle trasformate zeta dell'uscita e dell'ingresso.
o Funzione di trasferimento di un generico sistema LTI, ottenuta dalla trasformata Z di entrambi i lati dell'equazione alle differenze generica (per un sistema causale).
o Zeri e poli di una funzione di trasferimento ed in genere di una trasformata zeta. Diagramma poli-zeri.
o Risposta in frequenza ottenuta dalla valutazione della trasformata zeta sul cerchio di raggio unitario (se incluso nella ROC). Effetto della presenza di uno zero o di un polo sul modulo della trasformata zeta. Stime empiriche dell'andamento del modulo della risposta in frequenza a partire dal diagramma poli-zeri.
o Inversione della trasformata zeta tramite "table look up". Trasformata z inversa tramite espansione in fratti semplici con il metodo dei residui (solo per poli singoli).
o Sistemi FIR "all zeros" (con poli solo in 0). Sistemi IIR "all poles" (con zeri solo in 0). Ordine di un filtro LTI (FIR e IIR).
o Risposta di un generico sistema LTI del primo ordine quando l'ingresso è uno scalino causale: risposta transitoria e a regime.
o Definizione di stabilità Bounded Input Bounded Output (BIBO) di un sistema.
o Condizione necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità di un sistema LTI: assoluta sommabilità della risposta all'impulso. Cenni di dimostrazione della parte sufficiente del teorema. Condizione (alternativa) necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità di un sistema LTI: cerchio di raggio unitario appartenente alla ROC del sistema. Cenni di dimostrazione della parte sufficiente. Corollario circa le condizioni sulle posizioni di poli e zeri di un sistema causale e anticausale BIBO stabile. Stabilità certa di un sistema FIR.
o Cancellazione di poli e zeri: equazioni alle differenze con parte autoregressiva anche per sistemi FIR. Esempio: filtro comb (a pettine).
o Funzione di trasferimento di sistemi LTI applicati in cascata o in parallelo.
o Definizione di sistema inverso. Deconvoluzione (cenni).
o Cenni sull'instabilità numerica dei filtri IIR indotta dall'approssimazione dei coefficienti del filtro, durante l'implementazione pratica. Rimedi: applicazione in cascata di sistemi di ordine inferiore in cui i poli troppo vicini vengono separati.
o Progettazione di filtri IIR e FIR in base a collocamento diretto di poli e zeri.
o Progettazione di filtri FIR per troncamento della risposta all'impulso di filtri ideali. Similitudine tra la trasformata inversa a tempo discreto di Fourier e la formula per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier: fenomeno di Gibbs dovuto al troncamento della risposta all'impulso.
Prerequisiti
Il superamento degli esami di "Matematica del Continuo" e "Metodi Matematici per la Comunicazione Digitale" è propedeutico all'insegnamento di Elaborazione dei Segnali.
Metodi didattici
Il docente utilizzerà: a) lezioni frontali; b) soluzione di esercizi, anche preventivamente assegnati agli studenti; c) esemplificazioni al calcolatore di alcuni degli argomenti trattati, attraverso l'utilizzo di un ambiente di elaborazione dei segnali professionale (Matlab).
Materiale di riferimento
Al termine di ogni lezione, copia di quanto scritto alla lavagna elettronica verrà reso disponibile sul sito web Ariel del corso: https://rsassies.ariel.ctu.unimi.it/

Il testo di riferimento del corso è:
James H. McClellan, Ronald W. Schafer, Mark A. Yoder
Digital Signal Processing First, Second edition (o DSP First, 2nd edition)
Pearson Education, 2016. ISBN-13: 978-1292113869

Sono anche disponibili alcuni appunti delle lezioni del precedente anno accademico, predisposte dagli studenti.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si articola in una prova scritta (90% del voto finale) e una prova orale (10% del voto finale).

La prova scritta richiede:
- la soluzione di esercizi di tipo applicativo (aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati negli esercizi assegnati agli studenti come homeworks e discussi a lezione).
- la risposta a quesiti teorici.
La durata della prova scritta è di 2 ore e non è ammessa la consultazione di testi o appunti.

La prova orale consiste in una discussione della prova scritta, integrata da brevi domande.

Il voto finale è assegnato in trentesimi in base ai seguenti criteri: conoscenza degli argomenti, abilità nell'applicare in pratica le conoscenze acquisite, chiarezza nell'esprimere i concetti.
INF/01 - INFORMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 12 ore
Laboratori: 16 ore
Lezioni: 32 ore
Docente: Sassi Roberto
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento (concordato per email o telefono)
Dipartimento di Informatica, via Celoria 18, stanza 6004 (6 piano, ala Ovest), Milano o remoto via Microsoft Teams