Elementi di analisi funzionale

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell'ambito (infinito-dimensionale) dell'analisi funzionale lineare ed è da intendersi come propedeutico ad eventuali insegnamenti successivi.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle tecniche basilari dell'Analisi Funzionale e loro impiego nella soluzione di semplici problemi teorici e/o di Matematica applicata.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22, verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria.

Tutte le informazioni sul corso e il relativo materiale (dispensa, eventuali registrazioni delle lezioni, homework, ...) verranno pubblicate sulla piattaforma Ariel.
Programma
Spazi normati e di Banach, cenni al completamento. Norme equivalenti. Operatori lineari continui, lo spazio degli operatori. Lo spazio duale. Teoremi di Hahn-Banach. Compattezza forte.

Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Cenni agli spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.

Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.

Cenni alla teoria spettrale. Spettro degli operatori compatti. Spettro degli operatori compatti autoaggiunti in spazi di Hilbert.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4. Elementi di base di Topologia Generale. Elementi base di Algebra Lineare. Elementi di base di Analisi Reale (spazi L_p, spazi di Hilbert).
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni frontali svolte alla lavagna, oppure online in modalità sincrona, a seconda delle disposizioni degli organi dell'Ateneo.
Materiale di riferimento
Verrà fornita una dispensa del corso (in inglese) a cura del docente. Gli eventuali ulteriori riferimenti verranno indicati durante il corso.
Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
- M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
- R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
- W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
- W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Nel corso del semestre, verrà assegnato come compito a casa lo svolgimento di alcuni esercizi. L'esame finale consiste in un colloquio orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento o ad esso direttamente collegabili, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente.
La durata media della prova orale è di 45-60 minuti.
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente: Vesely Libor
Docente/i
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)