Matematica del continuo

A.A. 2021/2022
12
Crediti massimi
112
Ore totali
SSD
MAT/01 MAT/02 MAT/03 MAT/04 MAT/05 MAT/06 MAT/07 MAT/08 MAT/09
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Lo scopo dell'insegnamento è fornire conoscenze di base riguardanti: le metodologie generali del pensiero matematico; la teoria elementare degli insiemi; i principali sistemi numerici e le loro strutture algebriche e di ordine; l'algebra lineare; alcune funzioni elementari di variabile reale (o complessa); la nozione di limite, il calcolo differenziale e il calcolo integrale, soprattutto per le funzioni reali (o complesse) di una variabile reale; l'uso di funzioni elementari e del calcolo infinitesimale in alcune applicazioni al mondo reale.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente dovrà appropriarsi dei metodi generali del ragionamento matematico, raggiungere una comprensione profonda dei principali concetti teorici forniti dall'insegnamento e sviluppare la capacità di esporli in modo corente. Inoltre, lo studente dovrà imparare a risolvere problemi di calcolo nelle stesse aree, applicando in modo autonomo le tecniche risolutive fornite dall'insegnamento.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22 verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria.
Programma
1. Concetti elementari della teoria degli insiemi. Nozioni fondamentali sulle applicazioni tra insiemi. Relazioni su insiemi. Relazioni di equivalenza e di ordine. Elementi di calcolo combinatorio.
2. Gli insiemi N,Z,Q,R dei numeri naturali, interi relativi, razionali e reali, con le loro strutture algebriche e di ordine. Numerabilità di Q; non numerabilità di R. Completezza di R. Estremo superiore e inferiore di sottoinsiemi di R. Cenni di topologia in R. Gli spazi R^n (n=1,2,3, ).
3. Cenni sulla nozione astratta di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e matrici. Equazioni lineari.
4. Generalità sulle funzioni definite su un sottoinsieme di R, a valori in R. Alcune funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche. Utilizzo delle funzioni trigonometriche in acustica. Un primo incontro con la serie di Fourier.
5. Nozioni di limite e di continuità per le funzioni da un sottoinsieme di R a R. Limiti riguardanti funzioni elementari. Limiti e operazioni algebriche sulle funzioni: forme di indecisione. Limiti e composizione delle funzioni. Limiti notevoli. Teoremi di Darboux e Weierstrass sulle funzioni continue.
6. Le successioni reali, e la relativa nozione di limite. Serie reali: alcuni esempi e condizioni di convergenza.
7. Nozione di derivata per una funzione da un sottonsieme di R a R, e suo significato geometrico. Una applicazione della derivata: la velocità di una particella. Derivate e operazioni algebriche sulle funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Derivata di una
funzione inversa e di una funzione composta. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange.
8. Derivate di ordine superiore al primo. Una applicazione della derivata seconda: l'accelerazione di una particella. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano o di Lagrange. Uso della formula di Taylor per il calcolo di limiti, o per la valutazione numerica di funzioni. Cenni sulla serie di Taylor.
9. Uso delle derivate per determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione da un sottoinsieme di R a R, e gli intervalli in cui tale funzione è crescente, decrescente, convessa o concava. Analisi di altri aspetti del grafico di una tale funzione; asintoti.
10. Nozione di primitiva, o integrale indefinito, per
una funzione reale su un intervallo. Alcuni integrali indefiniti elementari. Integrazione indefinita per parti e per sostituzione.
11. Integrale definito secondo Riemann di una funzione reale su un intervallo, e suo significato geometrico. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione definita per parti e per sostituzione. Cenni sugli integrali impropri. Cenni sull'uso di integrali per stimare somme e serie.
12. Il campo complesso C. Modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Cenni sui limiti, sulla derivazione e sull'integrazione di funzioni a valori complessi. Cenni sulle successioni e le serie complesse. L'esponenziale in campo complesso; formula di Eulero. Radici n-esime di un numero complesso. Il teorema fondamentale dell'algebra.
Prerequisiti
Trattandosi di un insegnamento nel primo semestre del primo anno, non vi sono prerequisiti specifici differenti da quelli richiesti per l'accesso al corso di laurea.
Metodi didattici
L'insegnamento consiste di lezioni e di esercitazioni; le prime hanno carattere prevalentemente teorico, le seconde consistono generalmente nella risoluzione di esercizi, sulla base delle competenze acquisite durante le lezioni. Tuttavia, durante le lezioni potrà essere presentata la risoluzione di qualche esercizio e durante qualcuna delle esercitazioni potranno essere presentati dei complementi di carattere teorico.
Per quanto riguarda le modalità di erogazione delle lezioni e delle esercitazioni, si veda il campo sulla Fase Emergenziale.
Per informazioni aggiornate sulla didattica, si raccomanda di consultare frequentemente il sito Ariel dell'insegnamento.
Materiale di riferimento
LEZIONI. Tutti gli argomenti trattati nelle sono coperti da note scritte, disponibili sul sito Ariel dell'insegnamento. Le stesse note presentano, occasionalmente, la risoluzione di qualche esercizio.
ESERCITAZIONI. I contenuti trattati saranno in parte coperti da note
scritte, che verranno depositate sul sito Ariel dell'insegnamento.
In relazione ai contenuti delle esercitazioni, si segnalano anche i siti Ariel ''Minimat'' e ''Matematica assistita''.
ALTRO MATERIALE. I riferimenti sopraindicati sono più che sufficienti per la preparazione dell'esame. Ciò premesso, si segnalano alcuni
testi che potranno essere eventualmente utilizzati per consultazione o per approfondimenti:
● T. Apostol, "Calculus Volume I. One-variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra", Ed. Wiley India;
● A. Avantaggiati, ''Istituzioni di matematica'', Ed. Ambrosiana;
● G.C. Barozzi, ''Primo corso di analisi matematica'', Ed. Zanichelli;
● G.C. Barozzi, C. Corradi, ''Matematica generale per le scienze economiche'', Ed. Il Mulino;
● A. Guerraggio, ''Matematica generale'', Ed. Bollati Boringhieri.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si articola in una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie. Le prove scritta e orale si svolgono in presenza oppure a distanza, a seconda delle direttive vigenti al momento dell'appello.
La prova scritta richiede la soluzione di problemi a risposta aperta di tipo computazionale, aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati nelle esercitazioni.
La durata della prova scritta è compresa tra 100 e 180 minuti, a
seconda della modalità vigente al momento dell'esame (a distanza, in presenza o mista).
La prova scritta viene valutata con un voto in trentesimi, che viene comunicato allo studente subito dopo la correzione (di solito, pochi giorni dopo lo svolgimento della prova).
Per l'ammissione alla prova orale è richiesta una valutazione non inferiore a quindici trentesimi nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio, nel corso del quale lo studente deve mostrare di avere compreso in profondità i concetti teorici fondamentali dell'insegnamento e di saperli esporre in modo razionale, anche per quanto riguarda le dimostrazioni dei teoremi principali illustrati a lezione.
A discrezione della commissione esaminatrice, durante l'orale potranno essere richieste allo studente una discussione della sua prova scritta, o la risoluzione di semplici esercizi negli ambiti in cui la prova scritta abbia evidenziato delle carenze.
Una valutazione negativa nella prova orale comporta il non superamento dell'esame.
Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto dei risultati dello scritto e dell'orale; esso viene comunicato allo studente subito dopo la conclusione dell'esame orale.
Ulteriori informazioni sulle modalità di esame si possono ottenere dal sito Ariel dell'insegnamento, in cui sono depositati i testi delle prove scritte negli appelli degli ultimi anni ed una guida alla preparazione dell'esame orale.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 0
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 0
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 0
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 0
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/08 - ANALISI NUMERICA - CFU: 0
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA - CFU: 0
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 64 ore
Docente/i
Ricevimento:
A distanza, preferibilmente con skype. Per prendere appuntamento, inviare una e-mail a livio.pizzocchero 'at' unimi.it