Meccanica analitica 2
A.A. 2021/2022
Obiettivi formativi
Il corso intende fornire una introduzione alla fenomenologia e alla teoria dei sistemi dinamici, con particolare riferimento alla coesistenza di moti ordinati e moti caotici nei sistemi hamiltoniani. Si studieranno i piu' semplici metodi della teoria delle perturbazioni e della teoria ergodica. Si intende anche fornire una connessione tra quest'ultima ed i fondamenti dinamici della meccanica quantistica. Il corso prevede anche un laboratorio per lo studio numerico di semplici modelli.
Risultati apprendimento attesi
Alla fine del corso lo studente:
1) sapra' cosa si intende per coesistenza di moti ordinati e moti caotici avendola osservata, con una esercitazione numerica in un apposito laboratorio,
2) Avra' imparato le nozioni di punto fisso iperbolico, varieta' stabile ed instabile, punto omoclino, orbita omoclinica.
3) Avra' costruito le varieta' stabile e instabile relative al punto fisso principale dello standard map, e trovato l'orbita omoclina.
4) Conoscera' l'enunciati del teorema della varieta' stabile.
5) Conoscera' il modello della traslazione del toro e avra' compreso la differenza tra il caso razionale e quello irrazionale, e conoscera' il modello del gatto di Arnold.
6) Conoscera' le nozioni fondamentali riguardanti i sistemi ergodici, e sapra' dimostrare la ergodicita' della traslazione del toro nel caso irrazionale, e le proprieta' di mixing del gatto di Arnold.
7) Conoscera' le nozioni fondamentali relative alla teoria delle perturbazioni per sistemi hamiltoniani e l'enunciato del teorema KAM.
8) Conoscera' la dimostrazione del teorema della varieta' stabile.
1) sapra' cosa si intende per coesistenza di moti ordinati e moti caotici avendola osservata, con una esercitazione numerica in un apposito laboratorio,
2) Avra' imparato le nozioni di punto fisso iperbolico, varieta' stabile ed instabile, punto omoclino, orbita omoclinica.
3) Avra' costruito le varieta' stabile e instabile relative al punto fisso principale dello standard map, e trovato l'orbita omoclina.
4) Conoscera' l'enunciati del teorema della varieta' stabile.
5) Conoscera' il modello della traslazione del toro e avra' compreso la differenza tra il caso razionale e quello irrazionale, e conoscera' il modello del gatto di Arnold.
6) Conoscera' le nozioni fondamentali riguardanti i sistemi ergodici, e sapra' dimostrare la ergodicita' della traslazione del toro nel caso irrazionale, e le proprieta' di mixing del gatto di Arnold.
7) Conoscera' le nozioni fondamentali relative alla teoria delle perturbazioni per sistemi hamiltoniani e l'enunciato del teorema KAM.
8) Conoscera' la dimostrazione del teorema della varieta' stabile.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
L'insegnamento potrà essere erogato interamente in versione telematica, in modalità sincrona su piattaforma zoom, se vi fossero limitazioni alla mobilità legate all'emergenza sanitaria.
Programma
-- Introduzione alla teoria dei sistemi dinamici e alla generica coesistenza di moti ordinati e moti caotici. L'esempio della 'standard map'. L'ultimo toerema di Poincare nella versione di Arnold. L'apparire del caos attraverso i punti fissi iperbolici e le orbite omocline. Il teorema della varietà stabile locale.
-- Introduzione alla teoria delle perturbazioni. Il teorema della media. L'azione come invariante adiabatico. Le variabili azione--angolo per sistemi completamente integrabili. Il teorema di Liouville. Il teorema della media per sistemi con più angoli veloci.
-- Introduzione alla teoria ergodica. Motivazione fisica per lo studio delle medie temporali. Ruolo della probabilita' sui dati iniziali. Il teorema di Liouville, il teorema del ritorno di Poincare', il teorema ergodico di von Neumann, e sua interpretazione fisica. L'approccio all'equilibrio e le proprieta' di mescolamento (mixing) dei flussi; il decadimento delle correlazioni temporali. L'irreversibilita' macroscopica tramite la reversibilita' microscopica. L'esempio del calore specifico, e ``deduzione'' della seconda legge della termodinamica attraverso il teorema di fluttuazione dissipazione. La termodinamica come teoria delle grandi deviazioni: giustificazione della distribuzione canonica
-- Introduzione alla teoria delle perturbazioni. Il teorema della media. L'azione come invariante adiabatico. Le variabili azione--angolo per sistemi completamente integrabili. Il teorema di Liouville. Il teorema della media per sistemi con più angoli veloci.
-- Introduzione alla teoria ergodica. Motivazione fisica per lo studio delle medie temporali. Ruolo della probabilita' sui dati iniziali. Il teorema di Liouville, il teorema del ritorno di Poincare', il teorema ergodico di von Neumann, e sua interpretazione fisica. L'approccio all'equilibrio e le proprieta' di mescolamento (mixing) dei flussi; il decadimento delle correlazioni temporali. L'irreversibilita' macroscopica tramite la reversibilita' microscopica. L'esempio del calore specifico, e ``deduzione'' della seconda legge della termodinamica attraverso il teorema di fluttuazione dissipazione. La termodinamica come teoria delle grandi deviazioni: giustificazione della distribuzione canonica
Prerequisiti
Nozioni elementari sulle equazioni differenziali ordinarie, in particolate il teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy
Elementi di Meccanica Hamiltoniana: spazio delle fasi, equazioni di Hamilton, variabili dinamiche.
Elementi di teoria dell'integrazione: misura di un insieme, integrale di Lebesgue.
Elementi di Meccanica Hamiltoniana: spazio delle fasi, equazioni di Hamilton, variabili dinamiche.
Elementi di teoria dell'integrazione: misura di un insieme, integrale di Lebesgue.
Metodi didattici
Lezioni frontali in cui si illustrano gli argomenti dettagliati nel programma. Vi è inoltre un laboratorio numerico, in cui si tracciano i ritratti in fase dello standard map, dell pendolo forzato e del modello di Henon e Heiles.
Materiale di riferimento
V. I. Arnold and A. Avez, "Ergodic Problems of Classical Mechanics", Addison-Wesley
Carati, Galgani, "Appunti di Meccanica Analitica 2", disponibili in rete.
Carati, Galgani, "Appunti di Meccanica Analitica 2", disponibili in rete.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una discussione orale che verte sugli argomenti trattati nel corso, volto prevalentemente ad accertare la comprensione degli argomenti teorici affrontati nel corso.
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio - Dipartimento di Matematica - Via Saldini 50