Metodi matematici della fisica: geometria e gruppi 1

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
FIS/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento si prefigge di fornire agli studenti competenze teoriche e, in certa misura, applicative (a livello di applicazione dei metodi a problemi fisici) di geometria differenziale e teoria dei gruppi. Nella prima parte del corso, partendo dai principi dell'analisi tensoriale e delle forme differenziali si arriva ad estendere le operazioni differenziali a varieta' differenziali e spazi curvi in modo da ottenere formulazioni di leggi fisiche invarianti. Nella seconda parte, partendo dagli assiomi delle operazioni di gruppo si arriva a sviluppare tutta la teoria delle rappresentazioni e dei caratteri per gruppi discreti e per gruppi continui
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso lo studente avra' acquisito le seguenti abilita':
1) sapra' maneggiare oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
2) sapra' formulare leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
3) sapra' utilizzare il linguaggio e i metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici
4) sapra' formalizzare operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
5) sara' in grado di comprendere e utilizzare le proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazioni, sottogruppi, cosets)
6) sara' in grado di utilizzare gruppi discreti e la teoria della rappresentazione e dei caratteri degli stessi
7) sara' in grado di comprendere e utilizzare i teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di ortonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
8) sara' in grado di comprendere e utilizzare gruppi continui come SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di problemi fisici
9) sara' in grado di applicare la teoria dei gruppi a problemi di meccanica quantistica (analisi del momento angolare: coefficienti di Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting) e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli)
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Gli appunti del docente che comprendono tutti i passaggi delle derivazioni matematiche verranno messi a disposizione degli studenti per ogni lezione. Video delle lezioni verranno caricati su piattaforme telematiche in modo che essi siano fruibili da studenti che non possono recarsi alle lezioni in presenza a causa dell'emergenza sanitaria.
Programma
Il corso si prefigge di fornire solide basi di geometria differenziale, tensori e teoria dei gruppi per affrontare i corsi di Fisica Teorica 1, Fisica Teorica 2 e Teoria delle interazioni fondamentali 1, oltre che la maggior pare dei corsi avanzati di Struttura della Materia, Fisica Nucleare e Astrofisica.

- definizione di oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
- formulazione di leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
- calcolo differenziale assoluto ed estensione delle operazioni differenziali in ambito di relativita' ristretta e relativita' generale, azione di Einstein-Hilbert e derivazione delle equazioni di Einstein
- linguaggio e metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici (mappe, atlanti, ricoprimenti, spazi tangente)
- formalizzazione di operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
- proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazione, sottogruppi, cosets, gruppo quoziente)
- gruppi di Lie e algebra di Lie, forme differenziali dei generatori
- gruppi discreti e cristallografici e teoria della rappresentazione e dei caratteri
- teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di ortogonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
- teoria della rappresentazione e dei caratteri di SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di problemi fisici, rappresentazioni di Weyl, Dirac e vettore di Pauli-Lubanski
- applicazioni della teoria dei gruppi a problemi di meccanica quantistica: coefficienti di Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli)
Prerequisiti
Conoscenze di analisi, algebra lineare, spazi vettoriali, geometria analitica
Metodi didattici
Tradizionale alla lavagna e/o con audiovisivie con svolgimento di derivazioni e teoremi
Materiale di riferimento
- K. Cahill "Physical Mathematics", Cambridge University Press
- S. M. Carrol "Spacetime and geometry", Cambridge University Press
- H. F. Jones "Groups, representations, and physics" Taylor & Francis
- A. Zee "Group theory in a nutshell", Princeton University Press
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame orale in cui verra' richiesto di dimostrare teoremi e risultati presentati in dettaglio durante il corso, e di ragionare su alcune applicazioni fisiche.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente: Zaccone Alessio