Metodi matematici della meccanica quantistica

Il corso si propone di dare un introduzione alla teoria matematica della meccanica quantistica fornendo alcuni dei risultati principali e arrivando rapidamente ad affrontare problemi sul fronte della ricerca.

In una prima parte del corso si daranno le nozioni generali di operatori negli spazi di Hilbert. Si discuterà inoltre la corrispondenza tra meccanica classica e meccanica quantistica. Da un punto di vista teorico la nozione principale che si darà sarà quella di spettro discreto e spettro essenziale di un operatore. Un importante risultato cui si arriverà sarà la corrispondente classificazione delle soluzioni dell'equazione di Schrodinger distinte tra stati legati localizzati spazialmente, e stati instabili che decadono in ogni regione dello spazio.

Successivamente si tratteranno alcuni casi concreti che permettono di mettere in evidenza fenomenologie tipiche della meccanica quantistica e particolarmente interessanti. Tra queste cito l'atomo di idrogeno, la struttura a bande dello spettro nei cristalli,
la stabilità di atomi e molecole e l'effetto Aharonov-Bohm secondo cui in meccanica quantistica il potenziale elettromagnetico risulta osservabile.

Nella seconda parte del corso saranno trattati problemi più avanzati.

1) teoria dello scattering, cioè esistenza dell'operatore d'onda che permette di descrivere cosa succede quando una particella incide su un potenziale. Questo operatore gioca un ruolo fondamentale in tutta la meccanica quantistica ed è uno strumento fondamentale per capire la dinamica di sistemi non confinati.

2) teoria delle perturbazioni per lo spettro discreto e sua applicazione ad alcuni fenomeni fisici quali l'effetto zeeman. Comportamento di autovalori immersi nello spettro continuo: metastabilità e regola d'oro di Fermi.

Infine, se avanza tempo verranno trattati altri problemi anche a seconda dell'interesse degli studenti. Tra i possibili argomenti cito

3) applicazione della teoria kam alla dinamica di una particella su cui incide un'onda elettromagnetica.

4) Giustificazione del regola di quantizzazione di Bohr Sommerfeld per quantizzazione di sistemi integrabili. Calcolo pseudo- differenziale e dinamica dell'equazione di Schroedinger.