Relatività 1

A.A. 2021/2022
9
Crediti massimi
78
Ore totali
SSD
MAT/07
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento mira a fornire una introduzione alla relatività ristretta e generale enfatizzando gli aspetti fondazionali delle due teorie, il rigore matematico nella loro formulazione e le più importanti verifiche sperimentali.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente avrà acquisito i rudimenti delle teorie della relatività ristretta e generale e sarà in grado di studiare rigorosamente i fenomeni da esse descritte.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22 verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria.
Prerequisiti
Si richiedono conoscenze di base riguardanti l'algebra lineare e multilineare, la topologia, il calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, la meccanica newtoniana dei sistemi di particelle e l'elettromagnetismo; tutte queste conoscenze sono fornite dai corsi della laurea triennale in Matematica.
Il possesso di conoscenze di base sulle varietà differenziali e i campi tensoriali (come quelle fornite dall'insegnamento di Geometria 4 per la laurea triennale in Matematica) è vantaggioso per gli studenti interessati al presente insegnamento, pur non essendo un prerequisito inderogabile.
Seguire la parte da 3 crediti del presente insegnamento è indispensabile per chi non dispone delle nozioni di base sulle
varietà e il calcolo tensoriale; questa parte è indispensabile anche
per chi non conosce i rudimenti della geometria riemanniana.
Nelle intenzioni del docente, la parte da 3 crediti dovrebbe essere
utile anche a chi dispone di tutte le conoscenze appena indicate
(perchè illustra tali nozioni in un linguaggio molto vicino a quello
della parte da 6 crediti).
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una prova orale. Nel corso della prova lo studente deve esporre una parte degli argomenti indicati nel programma dell'insegnamento, rispondendo anche a domande degli esaminatori collegate alla sua esposizione. Gli argomenti oggetto dell'esposizione sono concordati da ogni studente con il docente responsabile dell'insegnamento prima di cominciare la preparazione dell'esame; la loro scelta deve essere effettuata in modo che, attraverso la prova orale, sia possibile verificare l'acquisizione di una visione di insieme dei temi dell'insegnamento e di competenze distribuite su tutto il programma. Nel corso della prova lo studente deve dimostrare di possedere una comprensione profonda degli argomenti esposti, sia dal punto di vista matematico che dal punto di vista del significato fisico.
La prova di esame relativa alla seconda parte (opzionale) dell'insegnamento si svolge con le stesse modalità, contestualmene con la prova sulla prima prima parte.
Il voto finale viene espresso in trentesimi, ed è comunicato allo studente subito dopo la fine dell'esame.
Per gli esami relativi a entrambe le parti dell'insegnamento c'è un voto finale unico, che tiene conto delle prove di esame sulle due parti.
Le prove di esame si terranno per appuntamento, concordato con il docente responsabile del corso. A seconda della regole vigenti al momento dell'esame, questo si svolgerà in presenza, oppure a distanza con skype.
Relatività 1 (prima parte)
Programma
1. UN ESAME CRITICO DEL MODELLO SPAZIO-TEMPORALE NEWTONIANO.
Spazio e tempo assoluti. Osservatori. Osservatori inerziali. Incompatibilità tra la nozione di quiete assoluta e il principio di relatività galileiano.
2. IL MODELLO SPAZIO-TEMPORALE GALILEIANO.
Lo spazio-tempo come fibrato sul tempo assoluto. Osservatori.
Osservatori inerziali. Struttura affine quadridimensionale dello spazio-tempo.
3. LA TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA.
La propagazione della luce, l'esperimento di Michelson-Morley e la crisi del modello spazio-temporale galileiano.
I postulati della relatività ristretta. Osservatori inerziali. Teorema di Aleksandrov. Le funzioni di transizione tra le descrizioni spazio-temporali di osservatori inerziali distinti ( "trasformazioni di Lorentz"). Gli effetti di "contrazione delle lunghezze" e "dilatazione dei tempi" previsti da tali trasformazioni. Osservazione della dilatazione dei tempi nel decadimento di particelle elementari.
Lo spazio-tempo di Minkowski, con la sua struttura affine e pseudo-euclidea. Vettori di tipo spaziale, temporale e luce. Tempo proprio.
Linea di universo di una particella o di un segnale luminoso. Trivelocità della particella o del segnale rispetto ad un osservatore
inerziale. Confronto delle trivelocità secondo osservatori inerziali distinti. Il fenomeno della aberrazione per i segnali luminosi.
Integrazione del tempo proprio lungo la linea di universo di una particella. Comportamento degli orologi secondo la teoria della relatività ristretta. Paradosso dei gemelli.
Cinematica quadridimensionale: quadrivelocità e quadriaccelerazione di una particella.
Dinamica relativistica della particella: formulazione invariante e descrizione secondo un osservatore inerziale. Risoluzione delle equazioni di moto in casi semplici. Conservazione del quadriimpulso nei sistemi isolati. Quadriimpulso di un fotone.
Le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico: formulazione relativisticamente invariante, mediante il calcolo differenziale esterno e la dualità di Hodge. Descrizione relativisticamente invariante delle soluzioni delle equazioni di Maxwell; potenziali avanzati e ritardati. Effetto Doppler.
Cenni di meccanica dei fluidi perfetti.
Il tensore energia- impulso: considerazioni generali e descrizione specifica nei casi della fluidodinamica e dell'elettromagnetismo.
4. LA TEORIA DELLA RELATIVITA' GENERALE.
Motivazioni fisiche per una teoria geometrica della gravità. Struttura geometrica dello spazio-tempo. Il concetto di osservatore in relatività generale: lo spazio solidale, e il problema della simultaneità rispetto all'osservatore. Il teorema di Coriolis in relatività generale.
Dinamica della particella. Il caso di una particella in caduta libera: principio della geodetica. La legge newtoniana per il moto dei gravi come caso limite del principio della geodetica.
Comportamento degli orologi e paradosso dei gemelli in relatività generale: esperimenti di Hafele-Keating e di Pound-Rebka.
Concetti fondamentali di fluidodinamica ed elettromagnetismo in uno spazio-tempo curvo.
Il tensore energia-impulso in relatività generale. Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale. Soluzione approssimata delle equazioni di Einstein nel limite di campo debole: la teoria della gravità di Newton come caso limite della relatività generale.
Soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein. Moto di una particella e traiettoria di un segnale luminoso nello spazio-tempo di Schwarzschild. Precessione del perielio di un pianeta e deflessione dei raggi luminosi nel campo gravitazionale del Sole.
NOTA. Dopo avere seguito questo insegnamento gli studenti potranno, se lo desiderano, affrontare lo studio di un argomento avanzato legato alla teoria della relatività generale utilizzando materiale bibliografico indicato dal docente e tenere un seminario su tale argomento che, in caso di valutazione positiva da parte del docente, consentirà l'acquisizione di 3 crediti supplementari di tipo F. Gli argomenti avanzati proposti sono i seguenti:
1) Il sistema GPS e la teoria della relatività generale.
2) Modelli cosmologici in relatività generale.
3) Introduzione ai buchi neri.
4) Le onde gravitazionali e la loro rivelazione.
Metodi didattici
Usualmente, l'insegnamento viene erogato sotto forma di lezioni in presenza. Durante le lezioni vengono proiettate e ampiamente commentate le note scritte dal docente, disponibili sul sito Ariel dell'insegnamento.
L'emergenza coronavirus potrebbe richiedere l'adozione di forme di
didattica a distanza: queste potrebbero affiancare o sostituire le lezioni in presenza. Informazioni più precise saranno disponibili dopo l'assunzione delle decisioni operative generali riguardo alla didattica nel secondo semestre 2021/22.
Materiale di riferimento
Il programma è coperto interamente dalle note scritte dal docente, disponibili sul sito Ariel dell'insegnamento.
Per completezza, si segnalano anche alcuni testi classici che potranno essere consultati dagli studenti interessati:
* S. Benenti, "Modelli matematici della meccanica I, II" , Celid.
* R. d' Inverno, "Introduzione alla relatività di Einstein", CLUEB.
* B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, "Geometria contemporanea", Editori Riuniti.
* G. Ferrarese, "Lezioni di Relatività generale", Pitagora Editrice.
* T. Frankel, "The geometry of physics", Cambridge University Press.
* J.B. Hartle. "Gravity. An introduction to Einstein's general relativity", Addison Wesley.
* S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, "The large scale structure of space- time", Cambridge University Press.
* L.D. Landau, E.M. Lifsits, "Teoria dei campi", Editori Riuniti.
* C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, "Gravitation", Freeman and Company.
* C. Moller, The Theory of Relativity, Oxford University Press.
* R.M. Wald, "General relativity", University of Chicago Press.
* S. Weinberg, " Gravitation and cosmology", Wiley and Sons.
* H. Weyl, "Space, time, matter", Dover.
Relatività (mod/02)
Programma
Questa parte dell'insegnamento è dedicata ai concetti geometrico- differenziali coinvolti nella costruzione rigorosa della Teoria della Relatività. Sono trattati i seguenti argomenti: algebra multilineare e tensori, varietà differenziali, campi tensoriali, derivata di Lie, differenziale esterno, distribuzioni e teorema di Frobenius, fibrati vettoriali e connessioni, varietà riemanniane e pseudo-riemanniane.
Metodi didattici
Usualmente, l'insegnamento viene erogato sotto forma di lezioni in presenza. Durante le lezioni vengono proiettate e ampiamente commentate le note scritte dal docente, disponibili sul sito Ariel dell'insegnamento.
L'emergenza coronavirus potrebbe richiedere l'adozione di forme di
didattica a distanza: queste potrebbero affiancare o sostituire le lezioni in presenza. Informazioni più precise saranno disponibili dopo l'assunzione delle decisioni operative generali riguardo alla didattica nel secondo semestre 2021/22.
Materiale di riferimento
Il programma è coperto interamente dalle note scritte dal docente, disponibili sul sito Ariel dell'insegnamento.
Per completezza, si segnalano anche alcuni testi classici che potranno essere consultati dagli studenti interessati:
* R. Abraham, J.E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', Addison Wesley.
* F Brickell, R. S. Clark, ``Differentiable manifolds. An introduction'', Van Nostrand Reinhold
* B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, "Geometria contemporanea", Editori Riuniti
* T. Frankel, "The geometry of physics", Cambridge University Press
* S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, "The large scale structure of space- time", Cambridge University Press
Moduli o unità didattiche
Relatività (mod/02)
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 3
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 14 ore

Relatività 1 (prima parte)
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 28 ore

Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
A distanza, preferibilmente con skype. Per prendere appuntamento, inviare una e-mail a livio.pizzocchero 'at' unimi.it