Sistemi dinamici 1

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
MAT/07
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale dell'insegnamento è quello di fornire agli studenti le basi della teoria elementare dei sistemi dinamici, con particolare riferimento alla nascita del caos nei sistemi deterministici e la persistenza di moti ordinati.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisirà conoscenze e competenze nell'ambito di alcune importanti proprieta' dei sistemi non lineari.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Didattica a distanza in modalità sincrona (con ZOOM)
Programma
PRIMA PARTE: CAOS.
A) Varietà stabile ed instabile. Teorema della varietà stabile.
B) Intersezioni omocline, dinamica caotica ed insiemi iperbolici
C) Teorema dell'orbita ombra, chaos in prossimità di intersezioni omocline.
D) Descrizione della dinamica caotica per il pendolo forzato con il metodo di Melnikov

SECONDA PARTE: TEORIA DELLE ORBITE PERIODICHE

A) Teorema di Poincarè di continuazione delle orbite periodiche. Calcolo degli
autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con
i moltiplicatori di Floquet

B) Teorema del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari nell'intorno di un punto di equilibrio ) con applicazione al problema dei tre corpi

TERZA PARTE: TEORIA DELLA FORMA NORMALE E TEOREMA DI SIEGEL

A) Teoria formale. Problema dell'esistenza di una trasformazione di
coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare.
Risonanze. Teorema di Poincare' sull'esistenza di trasformazioni formali
che mettono in forma normale un sistema dinamico (cioe' esistenza di
una trasformazione che sposta i termini nonlineari a ordini
arbitrariamente alti)

B) Piccoli divisori e teorema di Siegel. Piccoli divisori in domini di
Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e
loro generalita'. Dimostrazione del fatto che i piccoli divisori crescono al
crescere dell'ordine in domini di Poincare', dimostrazione del fatto che i
piccoli divisori soddisfano a stime diofantee in insiemi di misura piena.
Schema della dimostrazione del teorema di Siegel (schema iterativo
formale e andamento "quadratico" delle stime).

APPENDICE: SISTEMI INFINITO DIMENSIONALI ED EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI

A) Dispersione nella catena di particelle infinita.

B) Orbite periodiche in equazioni a derivate parziali
Prerequisiti
Conoscenze di base di Meccanica Analitica e di equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali lineari
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
Il programma del corso è coperto dalle dispense del Prof. Dario Bambusi, reperibili alla pagina web. http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dinamici_esame.html

Altri testi che può essere utile consultare:

1) V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni
differenziali ordinarie. Roma : Editori Riuniti, 1989.

2) Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of ordinary
differential equations. New York : McGraw-Hill Book Company,
1955.

3) Zehnder, Eduard: Lectures on dynamical systems. Hamiltonian
vector fields and symplectic capacities. EMS Textbooks in
Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010

4) Moser, Jurgen. Notes on Dynamical Systems. Courant Lecture Notes
Volume: 12; 2005; 256 pp

5) V.I. Arnold, Andre' Avez:Problemes ergodiques de la mecanique
classique. Paris : Gauthier-Villars, 1967.

6) Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern theory
of dynamical systems. Cambridge : Cambridge University Press,
1995.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame orale su appuntamento. Per tutti gli argomenti e' richiesto di saper descrivere i metodi le argomentazioni euristiche che portano ai vari risultati. Inoltre saranno richieste alcune dimostrazioni.
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 13.30-17.30
Stanza 1005, Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50, 20133, Milano