Teoria della rappresentazione

A.A. 2021/2022
9
Crediti massimi
73
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è presentare le idee basilari della Teoria della Rappresentazione per gruppi finiti (nella parte da 6 crediti) e per le algebre di Lie (nella parte avanzata da 3 crediti).
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle idee basilari della Teoria della Rappresentazione per gruppi finiti (nella parte da 6 crediti) e per le algebre di Lie (nella parte avanzata da 3 crediti).
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
- Lezioni ed esercitazioni si svolgeranno tramite l'applicazione Zoom, e potranno essere seguite sia in sincrono sulla base dell'orario del primo semestre sia in asincrono perché saranno registrate e lasciate a disposizione degli studenti sulla piattaforma ARIEL.
Prerequisiti
Nozioni di base dell'Algebra, in particolare della Teoria dei Gruppi.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame è diviso in una parte da 6 c.f.u. (relativa alle rappresentazioni di gruppi) ed una da 3 c.f.u. (facoltativa, relativa alle Algebre di Lie). Non c'è alcun vincolo temporale, né di ordine, tra lo svolgimento delle prove relative alle due parti.
Teoria della rappresentazione (prima parte)
Programma
1. Definizioni ed esempi: rappresentazioni irriducibili e completamente riducibili di un gruppo finito.
2. Rappresentazioni e moduli. Moduli semplici e semisemplici.
3. Applicazioni all'algebra gruppale. Teorema di Maschke.
4. Definizioni ed esempi di rappresentazioni irriducibili, riducibili, completamente riducibili. Caratteri di un gruppo finito. Definizioni e proprietà generali, caratteri irriducibili, relazioni di ortogonalità, caratteri lineari.
5. Tavole dei caratteri. Esempi.
6. Applicazioni della Teoria dei Caratteri. Criteri di risolubilità; Teorema di Burnside, esistenza e determinazione di sottogruppi normali.
7. Prodotti di rappresentazioni.
8. Rappresentazioni e caratteri indotti. Teorema di Frobenius.
9. Rappresentazioni del gruppo simmetrico. Partizioni e tableaux di Young, gradi delle rappresentazioni irriducibili di S_n.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
C.W. Curtis, I. Reiner, "Representation theory of finite groups and associative algebras", Interscience Publ. New York (1962).

I.M. Isaacs, "Character Theory of finite groups", Academic Press (1976).

M.P. Malliavin, "Les groupes finis et leurs représentations complexes", Volume 1. Masson, 1981
Teoria della rappresentazione mod/2
Programma
Varietà lisce, spazio tangente e fibrato tangente di una varietà liscia, campi vettoriali lisci e algebra di Lie ad essi associata. Gruppi di Lie ed algebre ad essi associate: campi vettoriali lisci invarianti a sinistra. Funtore tra categoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
Esempi di algebre di Lie. Rappresentazione aggiunta. Ideali. Algebre risolubili e nilpotenti, algebre semisemplici. Teorema di Engel e teorema di Lie.
Forma di Killing e caratterizzazione delle algebre semisemplici. Moduli per algebre di Lie e teorema di Weyl sulla completa riducibilità dei moduli di un'algebra semisemplice. Moduli di sl(2,C). Sottoalgebre torali e decomposizione di Cartan; sistemi di radici.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
J.E. Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", Springer (1972).

W. Fulton, J. Harris, "Representation Theory: A First Course", Springer (1991).

J.M. Lee, "Introduction to Smooth Manifolds", Springer (2012).
Moduli o unità didattiche
Teoria della rappresentazione (prima parte)
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 28 ore

Teoria della rappresentazione mod/2
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 3
Lezioni: 21 ore

Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 16.30-18.30
Ufficio n 2096, Dipartimento di Matematica