Topologia differenziale
A.A. 2021/2022
Obiettivi formativi
Scopo del corso è illustrare i risultati principali e fornire alcune delle tecniche proprie della topologia differenziale.
Risultati apprendimento attesi
Saper utilizzare alcune tecniche proprie della topologia differenziale sulla varietà differenziabili.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Essendo questo il primo anno di insegnamento del corso da parte del docente, il programma non e' ancora definito nei dettagli e potra' subire cambiamenti ed adeguamenti nel corso dell'anno. La topologia differenziale e' lo studio della topologia delle varieta' mediante invarianti definiti a partire da una struttura differenziabile. I metodi della topologia differenziale sono diffusamente utilizzati in geometria differenziale e algebrica. Gli argomenti che si intende proporre sono la la teoria delle classi caratteristiche e approfondimenti di teoria di Morse con applicazioni che vanno dallo studio della topologia delle varieta' algebriche complesse alla geometria Riemanniana.
Nel dettaglio alcuni argomenti potrebbero essere i seguenti
- teoria di Morse e teorema delle sezioni iperpiane di Lefschetz;
- coomologia di Morse;
- connessioni su fibrati vettoriali e curvatura;
- isomorfismo di Thom, classe di Thom e classe di Eulero;
- la teoria di Chern-Weil delle classi di Chern
- la classe di Chern massima e caratteristica di Eulero
- le classi di Potrjagin
- classi di Pontrjagin e cobordismo
- classi di Stiefel-Whitney
- teorema di Riemann-Roch-Hirzebruch (enunciato e applicazioni)
- teorema della segnatura di Hirzebruch (enunciato e applicazioni)
- coomologia di ipersuperfici complesse dello spazio proiettivo
- teorema di Gauss-Bonnet in dimensione pari
- teorema di Hitchin-Thorpe sulle ostruzioni topologiche all'esistenza di metriche di Einstein
Nel dettaglio alcuni argomenti potrebbero essere i seguenti
- teoria di Morse e teorema delle sezioni iperpiane di Lefschetz;
- coomologia di Morse;
- connessioni su fibrati vettoriali e curvatura;
- isomorfismo di Thom, classe di Thom e classe di Eulero;
- la teoria di Chern-Weil delle classi di Chern
- la classe di Chern massima e caratteristica di Eulero
- le classi di Potrjagin
- classi di Pontrjagin e cobordismo
- classi di Stiefel-Whitney
- teorema di Riemann-Roch-Hirzebruch (enunciato e applicazioni)
- teorema della segnatura di Hirzebruch (enunciato e applicazioni)
- coomologia di ipersuperfici complesse dello spazio proiettivo
- teorema di Gauss-Bonnet in dimensione pari
- teorema di Hitchin-Thorpe sulle ostruzioni topologiche all'esistenza di metriche di Einstein
Prerequisiti
Nel corso si assumera' una certa familiarita' con le nozioni di varieta' differenziabile, spazio tangente, campi vettoriali, forme differenzialiabili, integrazione su varieta' e teorema di Stokes. Si presupporra' anche che lo studente abbia visto la definizione di coomologia di de Rham, con alcuni esempi di calcolo.
Alcune parti del corso potrebbero sovrapporsi con argomenti trattati nel corso di Topologia Algebrica (e.g. trasversalita' e teoria di Morse), tuttavia il corso e' pensato come complementare e al tempo stesso indipendente dal corso di Topologia Algebrica.
Alcune parti del corso potrebbero sovrapporsi con argomenti trattati nel corso di Topologia Algebrica (e.g. trasversalita' e teoria di Morse), tuttavia il corso e' pensato come complementare e al tempo stesso indipendente dal corso di Topologia Algebrica.
Metodi didattici
Lezioni frontali tradizionali.
Materiale di riferimento
Le lezioni saranno ispirate da alcuni dei testi classici della topologia differenziale. Alcuni di questi sono:
- Differential topology, V. Guillemin e A. Pollack, AMS Chelsea Pubblishing
- Morse Theory, John Milnor, Princeton University Press
- Characteristic Classes, J. Milnor e J. Stasheff, Princeton University Press
- Differential Forms in Algebraic Topology, R. Bott e L. W. Tu, GTM Springer
- Differential Geometry, L. W. Tu, GTM Springer
- From Calculus to Cohomology, I. Madsen e J. Tornehave, Cambridge University Press
- Morse theory and Floer homology, M. Audin e D. Mihai, Universitext Springer
- Differential topology, V. Guillemin e A. Pollack, AMS Chelsea Pubblishing
- Morse Theory, John Milnor, Princeton University Press
- Characteristic Classes, J. Milnor e J. Stasheff, Princeton University Press
- Differential Forms in Algebraic Topology, R. Bott e L. W. Tu, GTM Springer
- Differential Geometry, L. W. Tu, GTM Springer
- From Calculus to Cohomology, I. Madsen e J. Tornehave, Cambridge University Press
- Morse theory and Floer homology, M. Audin e D. Mihai, Universitext Springer
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame sara' orale. Una parte dell'esame sara' basata sulla discussione di esercizi assegnati durante le lezioni.
Docente/i