Algebra omologica
A.A. 2022/2023
Obiettivi formativi
L'obiettivo di questo corso è quello di dare una introduzione ai principali strumenti dell'algebra omologica.
Risultati apprendimento attesi
Capacità di calcolo mediante funtori derivati e successioni spettrali in vari contesti dell'algebra e della geometria.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
L'algebra omologica è uno strumento essenziale utilizzato in vari ambiti della matematica, in particolare in Algebra, Topologia, Geometria Algebrica: informalmente possiamo pensare all'omologia come all'analogo algebrico del concetto di omotopia per spazi topologici.
Durante questo corso si apprenderanno gli elementi fondamentali, a cominciare dal linguaggio, necessari per lo studio di invariati algebrici associati ad oggetti di natura geometrico/topologica. Ad esempio la coomologia dei fasci o la coomologia di gruppi. Nel corso studieremo più in generale il seguente problema: dato un funtore non-esatto definito su una categoria abeliana (ad esempio il prodotto tensore di moduli su un anello, o il funtore sezioni globali per un fascio di gruppi abeliani su uno spazio topologico), come possiamo misurare la sua non-esattezza?
Più in dettaglio, verrano coperti i seguenti argomenti:
- Definizioni e strumenti fondamentali dell'algebra omologica: categorie esatte, categorie abeliane.
- Sequenze spettrali: costruzione e convergenza.
- Funtori derivati e risoluzioni. Categorie derivate. Ext e Tor. Sequenze spettrali e funtori derivati.
- Topologie di Grothendieck e coomologia di fasci (Cech, derived).
Durante questo corso si apprenderanno gli elementi fondamentali, a cominciare dal linguaggio, necessari per lo studio di invariati algebrici associati ad oggetti di natura geometrico/topologica. Ad esempio la coomologia dei fasci o la coomologia di gruppi. Nel corso studieremo più in generale il seguente problema: dato un funtore non-esatto definito su una categoria abeliana (ad esempio il prodotto tensore di moduli su un anello, o il funtore sezioni globali per un fascio di gruppi abeliani su uno spazio topologico), come possiamo misurare la sua non-esattezza?
Più in dettaglio, verrano coperti i seguenti argomenti:
- Definizioni e strumenti fondamentali dell'algebra omologica: categorie esatte, categorie abeliane.
- Sequenze spettrali: costruzione e convergenza.
- Funtori derivati e risoluzioni. Categorie derivate. Ext e Tor. Sequenze spettrali e funtori derivati.
- Topologie di Grothendieck e coomologia di fasci (Cech, derived).
Prerequisiti
Si daranno per acquisite alcune nozioni di base di algebra e topologia, nonché una certa dimestichezza con la teoria delle categorie (saranno sufficienti gli elementi acquisiti durante il corso di Algebra 4).
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
Verranno indicati mano a mano dei riferimenti puntuali durante il corso. Una referenza classica è:
C. Weibel: An introduction to Homological Algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics Vol. 38, 1995.
C. Weibel: An introduction to Homological Algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics Vol. 38, 1995.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Una serie di esercizi sarà assegnata durante il corso, e le soluzioni dovranno essere inviate ai docenti entro la fine delle lezioni. La valutazione finale avverrà tramite un esame orale, tipicamente un seminario su un tema scelto dallo studente fra un ventaglio di proposte.
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì dalle ore 10:30 alle ore 12:30, previo contatto per email.
Dipartimento di Matematica - Studio 2093 (secondo piano)