Analisi armonica
A.A. 2022/2023
Obiettivi formativi
Preparare gli studenti ad affrontare temi di ricerca, o tesi di laurea, nell'ambito dell'analisi di operatori ed equazioni differenziali su varietà differenziabili, Riemanniane e sub-Riemanniane.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente avrà acquisito le conoscenze dei concetti e dei risultati di base nell'ambito dell'analisi di operatori ed equazioni differenziali su varietà differenziabili, Riemanniane e sub-Riemanniane; inoltre saprà risolvere esercizi inerenti a tale teoria, che richiedono anche capacità computazionali
Periodo: Secondo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22, verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria.
Programma
Integrali singolari in Rᵐ. La trasformata di Fourier in Rᵐ: teoria L¹, L². Funzioni di Schwartz in Rᵐ, spazio delle distribuzioni temperate, loro trasformata di Fourier; richiami. e altre operazioni. ([D],
Decomposizione di Calderon-Zygmund di una funzione L¹. Integrali singolari in Rᵐ e loro limitatezza Lᵖ.
Interpolazione di operatori: metodo di interpolazione complessa.
Spazi di Sobolev. Definizione e prime proprietà. Decomposizione di Littlewood—Paley. Teoremi d'immersione.
Gli operatori classici della fisica matematica. L'operatore di Laplace, equazioni del calore e delle onde. Funzioni del Laplaciano, moltiplicatori. Operatori ellittici e ipoellittici.
Operatori subellittici. Il teorema di Hormander sulla somma di quadrati. Operatori pseudodifferenziali. Il gruppo di Heisenberg e il sub-Laplaciano. Soluzione fondamentale, semigruppo del calore.
Decomposizione di Calderon-Zygmund di una funzione L¹. Integrali singolari in Rᵐ e loro limitatezza Lᵖ.
Interpolazione di operatori: metodo di interpolazione complessa.
Spazi di Sobolev. Definizione e prime proprietà. Decomposizione di Littlewood—Paley. Teoremi d'immersione.
Gli operatori classici della fisica matematica. L'operatore di Laplace, equazioni del calore e delle onde. Funzioni del Laplaciano, moltiplicatori. Operatori ellittici e ipoellittici.
Operatori subellittici. Il teorema di Hormander sulla somma di quadrati. Operatori pseudodifferenziali. Il gruppo di Heisenberg e il sub-Laplaciano. Soluzione fondamentale, semigruppo del calore.
Prerequisiti
Non sono previsti prerequisiti obbligatori, tuttavia la buona conoscenza (di molti) degli argomenti trattati nei corsi Analisi Reale e Analisi di Fourier sono fortemente consigliate.
Metodi didattici
Lezioni frontali con utilizzo della lavagna. Fornite note del corso.
Materiale di riferimento
J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics 29, A.M.S., 2001
F. Linares, G. Ponce, Introduction of Nonlinaear Dispersive Equations, Second Edition, Springer University Texts, New York 2015.
M. Peloso, Appunti del corso
F. Linares, G. Ponce, Introduction of Nonlinaear Dispersive Equations, Second Edition, Springer University Texts, New York 2015.
M. Peloso, Appunti del corso
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale.
- Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni concetti, esempi e risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche semplice problema di genere affine a quelli in programma, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni concetti, esempi e risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche semplice problema di genere affine a quelli in programma, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Siti didattici
Docente/i