Geometria differenziale (prima parte)
A.A. 2022/2023
Obiettivi formativi
Introdurre lo studente alla moderna teoria delle varietà differenziali e Riemanniane.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione di un bagaglio teorico/tecnico volto alla comprensione e risoluzione di problemi geometrici attraverso l'uso di tecniche analitiche.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Richiami sulle varietà differenziabili
2. Complementi sui fibrati tensoriali associati ad una varietà.
3. Distribuzioni e teorema di Frobenius. (*)
4. Metriche Riemanniane.
5. Connessioni lineari su varietà.
6. La connessione di Levi Civita e il tensore di curvatura.
7. La mappa esponenziale.
8. Immersioni isometriche.
9. Geodetiche e distanza; varietà Riemanniane complete.
10. Introduzione al formalismo del moving frame. (*)
11. Campi di Jacobi e teorema di Hadamard(*).
12. Variazioni dell'energia di una curva.
13. Campi di Jacobi e geodetiche minimizzanti. (*)
14. Curvatura e topologia. (*)
(*): in base al tempo disponibile e alle richieste degli studenti
2. Complementi sui fibrati tensoriali associati ad una varietà.
3. Distribuzioni e teorema di Frobenius. (*)
4. Metriche Riemanniane.
5. Connessioni lineari su varietà.
6. La connessione di Levi Civita e il tensore di curvatura.
7. La mappa esponenziale.
8. Immersioni isometriche.
9. Geodetiche e distanza; varietà Riemanniane complete.
10. Introduzione al formalismo del moving frame. (*)
11. Campi di Jacobi e teorema di Hadamard(*).
12. Variazioni dell'energia di una curva.
13. Campi di Jacobi e geodetiche minimizzanti. (*)
14. Curvatura e topologia. (*)
(*): in base al tempo disponibile e alle richieste degli studenti
Prerequisiti
Geometria 1, 2, 3 e 4; Analisi 1 e 2.
Metodi didattici
Il corso viene erogato tramite 42 ore di lezione frontale, in blocchi da 2 ore, incentrati sulla teoria ma corredati da esempi ed esercizi svolti (e da svolgere).
Materiale di riferimento
Dispense a cura del docente; testi consigliati durante il corso (in particolare: J. M. Lee, "Introduction to differentiable manifolds"; J. M. Lee, "Introduction to Riemannian Manifolds"; W. M. Boothby, "An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry").
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si compone di un'unica prova, orale, tesa a verificare le conoscenze, sia teoriche (dimostrazioni) sia computazionali (esercizi), acquisite nel corso. Le dimostrazioni richieste verranno specificate chiaramente nel programma definitivo fornito al termine del corso.
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento, via email
Studio 1014, Via Saldini 50 (primo piano)