Sistemi dinamici 1

PRIMA PARTE: CAOS.
A) Varietà stabile ed instabile. Teorema della varietà stabile.
B) Intersezioni omocline, dinamica caotica ed insiemi iperbolici
C) Teorema dell'orbita ombra, chaos in prossimità di intersezioni omocline.
D) Descrizione della dinamica caotica per il pendolo forzato con il metodo di Melnikov

SECONDA PARTE: TEORIA DELLE ORBITE PERIODICHE

A) Teorema di Poincarè di continuazione delle orbite periodiche. Calcolo degli
autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con
i moltiplicatori di Floquet

B) Teorema del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari nell'intorno di un punto di equilibrio ) con applicazione al problema dei tre corpi

TERZA PARTE: TEORIA DELLA FORMA NORMALE E TEOREMA DI SIEGEL

A) Teoria formale. Problema dell'esistenza di una trasformazione di
coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare.
Risonanze. Teorema di Poincare' sull'esistenza di trasformazioni formali
che mettono in forma normale un sistema dinamico (cioe' esistenza di
una trasformazione che sposta i termini nonlineari a ordini
arbitrariamente alti)

B) Piccoli divisori e teorema di Siegel. Piccoli divisori in domini di
Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e
loro generalita'. Dimostrazione del fatto che i piccoli divisori crescono al
crescere dell'ordine in domini di Poincare', dimostrazione del fatto che i
piccoli divisori soddisfano a stime diofantee in insiemi di misura piena.
Schema della dimostrazione del teorema di Siegel (schema iterativo
formale e andamento "quadratico" delle stime).

APPENDICE: SISTEMI INFINITO DIMENSIONALI ED EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI

A) Dispersione nella catena di particelle infinita.

B) Orbite periodiche in equazioni a derivate parziali