Complementi di matematica e calcolo numerico

Il problema dell'interpolazione polinomiale. Dimostrazione del teorema di unicità. Costruzione del polinomio di interpolazione con il metodo di Vandermonde e con il metodo di Lagrange. Errore di interpolazione. Controesempio di Runge. Concetto di interpolazione ed estrapolazione. Retta di regressione, metodo dei minimi quadrati nel discreto.

Derivazione numerica: approssimazione della derivata in avanti, all'indietro, formula del punto medio, approssimazione della derivata seconda, richiami sullo sviluppo di Taylor e formula dell'errore.

Formule di quadratura (FQ) per l'approssimazione di integrali definiti: rettangoli, punto medio, trapezi, Cavalieri-Simpson. Formule di quadratura di Newton-Cotes: nodi, pesi, FQ aperte e chiuse, grado di precisione. Formule di quadratura composite; formule dell'errore. Calcolo dei pesi delle formule di quadratura dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.

Introduzione all'approssimazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero esplicito e implicito: costruzione geometrica, con lo sviluppo di Taylor, mediante approssimazione delle derivate e con formule di quadratura. Metodi di Crank-Nicolson e di Heun. Definizione ed esempi di stabilità e instabilità assoluta, definizione di convergenza.

Approssimazione di zeri di funzione: il metodo di bisezione, di Newton, delle corde e delle secanti. Ordine di convergenza. Test d'arresto. Teorema di convergenza globale del metodo di Newton.

Richiami sui vettori nel piano e nello spazio (R2 e R3): Norme di vettori.

Richiami sulle matrici in R(mxn): Matrici diagonali e triangolari, matrice trasposta, matrici simmetriche, diagonalmente dominanti. Norme di matrici: definizione, proprietà, norma-1 e norma infinito.
Prodotto, determinante, autovalori di matrici diagonali, tridiagonali, triangolari. Determinante di una matrice 2x2 e 3x3 (regola di Sarrus). Definizione di matrice inversa. Sistemi lineari Ax=b 2x2, 3x3, cenni ai sistemi nxn. Sistemi omogenei. Sistemi compatibili (determinati e indeterminati) e incompatibili (impossibili). Numero di condizionamento di una matrice quadrata. Studio del condizionamento di un sistema lineare nel caso particolare di perturbazione del termine noto. Sottomatrici quadrate, minore e rango di una matrice, matrice orlata [A|b]. Teorema di Rouchè-Capelli (caso particolare A(nxn) senza dimostrazione). Esempi di sistemi 2x2 e 3x3 determinati, indeterminati e impossibili. Gradi di libertà. Norma 2 di matrice e condizionamento in norma 2. Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU. Metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel.