Matematica
A.A. 2023/2024
Obiettivi formativi
Il corso si propone di presentare alcuni concetti e metodi matematici, con particolare attenzione allo sviluppo degli aspetti della disciplina più utili per una reale comprensione degli argomenti trattati nei corsi caratterizzanti delle lauree impartite in Facoltà. Lo scopo del corso è far acquisire allo studente una adeguata comprensione teorica degli argomenti affrontati, insieme a una adeguata capacità di esecuzione delle procedure di calcolo coinvolte. Inoltre, al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di utilizzare le conoscenze acquisite per formulare e risolvere in maniera rigorosa semplici problemi di carattere applicativo.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione degli strumenti e delle conoscenze della Matematica di base e dell'Analisi Matematica elementare. In particolare per quanto riguarda la Matematica di base lo studente sarà in grado di manipolare formule contenenti espressioni algebriche, percentuali e proporzioni, radicali, logaritmi ed esponenziali, di risolvere equazioni e disequazioni, di utilizzare i principali strumenti e tecniche della geometria analitica, geometria piana e solida e della trigonometria. Per quanto riguarda invece l'Analisi Matematica elementare, lo studente sarà in grado di tracciare e interpretare grafici di funzioni di una variabile in diversi contesti, di calcolare limiti, derivate e integrali e di utilizzare questi concetti per descrivere e risolvere problemi reali. Lo studente sarà inoltre in grado di comprendere ed eseguire in autonomia alcuni semplici passaggi matematici comunemente utilizzati nella letteratura scientifica del proprio settore.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali e loro operazioni. Percentuali, proporzioni e loro utilizzo nella risoluzione di problemi reali. Valore assoluto, radici ennesime. Logaritmi ed esponenziali: definizioni e proprietà. Definizioni e principali proprietà di goniometria.
2. Equazioni e disequazioni: algebriche di vari gradi, fratte, irrazionali, con valori assoluti; sistemi di disequazioni. Equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
3. Richiami di geometria analitica. Coordinate cartesiane, equazioni della retta, ortogonalità, parallelismo, distanza tra due punti, distanza punto retta, punto medio e asse di un segmento. Equazione di una retta nel piano. Fascio proprio e improprio di rette. Intersezione di rette e sistemi di equazioni. Funzioni lineari e loro applicazioni a problemi reali. Sistemi di disequazioni in due variabili. Equazione e grafico di una parabola ed applicazioni alle equazioni e disequazioni di secondo grado. Condizione di tangenza. Iperbole equilatera e funzione omografica. Breve ripasso di trigonometria: teorema dei seni e teorema di Carnot, applicazioni a problemi reali.
4. Funzioni. Definizione di funzione. Dominio, codominio. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive e funzioni invertibili. Composizione di funzioni. Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni convesse e concave. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Segno e zeri di una funzione. Funzioni pari e dispari. Le funzioni potenza e radice. Le funzioni esponenziale e logaritmica. Le funzioni trigonometriche e le loro inverse. Operazioni elementari sui grafici (traslazioni, simmetrie, valori assoluti).
5. Limiti di funzioni e funzioni continue. Intervalli aperti e chiusi. Punto di accumulazione. Definizioni di limite. Limite destro e sinistro di funzioni. Asintoti orizzontali e verticali. Esistenza e unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema del confronto. Continuità in un punto. Calcolo di limiti di funzioni elementari. Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti obliqui. Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri.
6. Calcolo differenziale e studio qualitativo di funzioni. Definizione di derivata di una funzione in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Funzione derivata. Significato geometrico della derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, composta e inversa. Relazione fra continuità e derivabilità. Retta tangente al grafico di una funzione. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Derivabilità di ordine superiore. Teorema di De l'Hopital. Intervalli di monotonia della funzione. Punti di massimo e minimo relativi. Teorema di Fermat. Relazioni tra derivabilità e monotonia. Derivata seconda e convessità. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
7. Integrali. Integrali indefiniti. Primitive di una funzione. Primitive di funzioni elementari. Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità. Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione e integrazione di funzioni razionali. Integrali definiti: definizione. Teorema fondamentale del calcolo integrale e teorema della media. Calcolo di aree di regioni piane.
2. Equazioni e disequazioni: algebriche di vari gradi, fratte, irrazionali, con valori assoluti; sistemi di disequazioni. Equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
3. Richiami di geometria analitica. Coordinate cartesiane, equazioni della retta, ortogonalità, parallelismo, distanza tra due punti, distanza punto retta, punto medio e asse di un segmento. Equazione di una retta nel piano. Fascio proprio e improprio di rette. Intersezione di rette e sistemi di equazioni. Funzioni lineari e loro applicazioni a problemi reali. Sistemi di disequazioni in due variabili. Equazione e grafico di una parabola ed applicazioni alle equazioni e disequazioni di secondo grado. Condizione di tangenza. Iperbole equilatera e funzione omografica. Breve ripasso di trigonometria: teorema dei seni e teorema di Carnot, applicazioni a problemi reali.
4. Funzioni. Definizione di funzione. Dominio, codominio. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive e funzioni invertibili. Composizione di funzioni. Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni convesse e concave. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Segno e zeri di una funzione. Funzioni pari e dispari. Le funzioni potenza e radice. Le funzioni esponenziale e logaritmica. Le funzioni trigonometriche e le loro inverse. Operazioni elementari sui grafici (traslazioni, simmetrie, valori assoluti).
5. Limiti di funzioni e funzioni continue. Intervalli aperti e chiusi. Punto di accumulazione. Definizioni di limite. Limite destro e sinistro di funzioni. Asintoti orizzontali e verticali. Esistenza e unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema del confronto. Continuità in un punto. Calcolo di limiti di funzioni elementari. Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti obliqui. Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri.
6. Calcolo differenziale e studio qualitativo di funzioni. Definizione di derivata di una funzione in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Funzione derivata. Significato geometrico della derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, composta e inversa. Relazione fra continuità e derivabilità. Retta tangente al grafico di una funzione. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Derivabilità di ordine superiore. Teorema di De l'Hopital. Intervalli di monotonia della funzione. Punti di massimo e minimo relativi. Teorema di Fermat. Relazioni tra derivabilità e monotonia. Derivata seconda e convessità. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
7. Integrali. Integrali indefiniti. Primitive di una funzione. Primitive di funzioni elementari. Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità. Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione e integrazione di funzioni razionali. Integrali definiti: definizione. Teorema fondamentale del calcolo integrale e teorema della media. Calcolo di aree di regioni piane.
Prerequisiti
Essendo un insegnamento del primo semestre del primo anno non vi sono prerequisiti specifici differenti da quelli richiesti per l'acceso al corso di laurea.
Verrà utilizzato il formalismo matematico sviluppato nel corso delle Scuole Medie Superiori.
Gli studenti che presentassero debiti formativi in partenza sono tenuti a colmarli secondo le disposizioni universitarie. L'università fornisce strumenti di Offerta Formativa Aggiuntiva (OFA) ed altre iniziative legate all'insegnamento (es. tutoraggio) per il recupero ed il consolidamento delle conoscenze preliminari.
Verrà utilizzato il formalismo matematico sviluppato nel corso delle Scuole Medie Superiori.
Gli studenti che presentassero debiti formativi in partenza sono tenuti a colmarli secondo le disposizioni universitarie. L'università fornisce strumenti di Offerta Formativa Aggiuntiva (OFA) ed altre iniziative legate all'insegnamento (es. tutoraggio) per il recupero ed il consolidamento delle conoscenze preliminari.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni, utilizzo di piattaforma di e-learning associata al libro di testo, simulazioni di prove d'esame per l'apprendimento della materia e come strumento di verifica e autovalutazione.
Il corso si avvale dell'utilizzo della piattaforma Ariel, sulla quale vengono caricati esercizi e altro materiale didattico relativo agli argomenti trattati a lezione.
Durante il corso saranno tenute da un tutor esercitazioni aggiuntive per rafforzare ulteriormente alcuni argomenti importanti ed in preparazione alle prove scritte.
Riguardo alle modalità di svolgimento in remoto o in presenza, si rimanda alle disposizioni universitarie più aggiornate.
Al momento le lezioni ed esercitazioni si svolgeranno in presenza.
La frequenza al corso è caldamente consigliata, ma non obbligatoria per il superamento dell'esame.
Il corso si avvale dell'utilizzo della piattaforma Ariel, sulla quale vengono caricati esercizi e altro materiale didattico relativo agli argomenti trattati a lezione.
Durante il corso saranno tenute da un tutor esercitazioni aggiuntive per rafforzare ulteriormente alcuni argomenti importanti ed in preparazione alle prove scritte.
Riguardo alle modalità di svolgimento in remoto o in presenza, si rimanda alle disposizioni universitarie più aggiornate.
Al momento le lezioni ed esercitazioni si svolgeranno in presenza.
La frequenza al corso è caldamente consigliata, ma non obbligatoria per il superamento dell'esame.
Materiale di riferimento
Appunti delle lezioni, eventuali altri testi consigliati e temi d'esame (disponibili sul portale Ariel)
Testi suggeriti:
Annaratone S. "Matematica sul Campo: metodi ed esempi per le scienze della vita". Pearson.
Abate M. "Matematica e Statistica" / 4 Ed con Connect_McGraw Hill
(solo la parte dedicata alla Matematica)
Qualsiasi libro che tratti gli argomenti del programma è comunque equivalente.
Disponibilità del docente:
Il docente è disponibile per spiegazioni e chiarimenti sia dopo la fine di ogni lezione sia in seguito mediante appuntamento via mail all'indirizzo di posta universitario.
Testi suggeriti:
Annaratone S. "Matematica sul Campo: metodi ed esempi per le scienze della vita". Pearson.
Abate M. "Matematica e Statistica" / 4 Ed con Connect_McGraw Hill
(solo la parte dedicata alla Matematica)
Qualsiasi libro che tratti gli argomenti del programma è comunque equivalente.
Disponibilità del docente:
Il docente è disponibile per spiegazioni e chiarimenti sia dopo la fine di ogni lezione sia in seguito mediante appuntamento via mail all'indirizzo di posta universitario.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
La verifica dell'apprendimento consiste di norma in una prova d'esame scritta sull'intero programma del corso svolto nel semestre. In particolari situazioni di seguito specificate, una prova orale aggiuntiva potrà essere presa in considerazione.
Gli studenti possono sostenere la prova d'esame o mediante le cosiddette prove in itinere o mediante la partecipazione agli appelli d'esame.
Prove in itinere
Prima degli appelli lo Studente ha la facoltà (e non l'obbligo) di sostenere, ai fini del superamento dell'esame, due prove in itinere; ognuna avrà la durata di 90 minuti. La prima alla fine del primo emi-semestre, verterà sugli argomenti presentati nella prima parte del corso; la seconda si svolgerà alla fine del semestre e verterà sugli argomenti presentati nella seconda parte del corso.
Ciascuna prova in itinere è costituita da tre problemi/esercizi e una domanda di teoria.
In particolare, possono presentarsi le seguenti situazioni
- Lo studente ottiene una votazione non inferiore a 18/30 nella prima prova in itinere. In questo primo caso lo studente può sostenere la seconda prova in itinere al termine del semestre. Se nella seconda prova lo studente otterrà una votazione non inferiore a 18/30 allora l'esame risulterà superato con una votazione data dalla media dei risultati conseguiti nelle due prove in itinere.
- Lo studente, superata la prima prova in itinere, nella seconda prova in itinere non ottiene una votazione di 18/30 o risulta assente. In questo secondo caso lo studente dovrà ripetere l'esame integralmente in uno dei successivi appelli previsti.
- Lo studente non supera la prima prova in itinere o risulta assente. In questo terzo caso lo studente non potrà essere ammesso alla seconda prova in itinere, ma dovrà sostenere l'esame integralmente in uno dei successivi appelli previsti.
Si ricorda che la partecipazione alle prove in itinere non è obbligatoria.
Per ragioni organizzative, si invitano comunque coloro che, pur avendo superato la prima prova in itinere, per qualsiasi motivo non intendano sostenere la seconda, a darne comunicazione via e-mail al docente almeno una settimana prima della data della seconda prova stessa.
Appelli d'esame
Un appello d'esame implica per lo studente una prova scritta della durata di 120 minuti costituita da cinque problemi/esercizi e una domanda di teoria, riguardanti l'intero programma del corso svolto nel semestre.
Se la valutazione è inferiore a 18/30 lo studente viene rimandato agli appelli successivi.
Gli appelli d'esame hanno luogo una volta terminato il corso. Il primo appello (cosiddetto "preappello") viene di norma organizzato in concomitanza con la seconda prova in itinere.
Il preappello è aperto a tutti gli allievi indipendentemente dall'esito della prima prova in itinere; chi non svolge la seconda prova in itinere e partecipa al preappello annullerà automaticamente un eventuale esito positivo della prima prova in itinere.
Regole
Per sostenere una prova scritta, sia in itinere che in appello, gli studenti devono essere regolarmente iscritti tramite SIFA e devono presentarsi davanti all'aula 15 minuti prima dell'inizio della prova scritta, muniti di tesserino universitario, di documento di identità con foto e di fogli protocollo. Le date, l'ora e le aule delle prove saranno reperibili sul SIFA.
Durante ogni prova scritta è vietato consultare libri, appunti, formulari, utilizzare calcolatrici di qualsiasi tipo, computer e telefoni cellulari. È inoltre vietato comunicare con gli altri studenti, pena l'espulsione dall'aula. Durante la prova scritta è inoltre vietato allontanarsi dall'aula. Al termine della prima ora gli studenti che lo desiderano possono consegnare o ritirarsi.
La comunicazione dell'esito delle prove scritte avviene tramite il portale Ariel, contestualmente viene comunicata la data per la visione e la discussione delle prove corrette. Gli studenti non sono obbligati a presentarsi a tale appuntamento.
Un'eventuale rinuncia ad una votazione positiva (> o = 18/30) ottenuta nella prova scritta deve essere espressamente comunicata dallo studente al docente al più tardi entro il termine della visione delle prove, con la conseguente ripetizione dell'esame.
Esame orale
Lo studente che abbia ottenuto una valutazione maggiore o uguale a 25/30 dopo le due prove in itinere o in sede d'appello d'esame può chiedere di sostenere una prova orale per integrare la valutazione. Per ragioni organizzative la richiesta dovrà pervenire al docente entro le 48 ore che precedono il giorno della visione dei compiti.
Le eventuali prove orali si svolgono in genere al termine della visione dei compiti.
Durante la prova orale verrà commentata la prova scritta e saranno valutate le capacità dello studente di utilizzare un linguaggio e una simbologia appropriati, di focalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso i più opportuni modelli algebrici e grafici e di analizzare e interpretare i risultati ottenuti.
Lo studente è reso consapevole del fatto che potrà aumentare o diminuire il voto dello scritto, dal momento che il voto finale dell'esame espresso in trentesimi consisterà nella media aritmetica tra il voto dello scritto e quello dell'orale.
Esempi di prove scritte degli anni passati sono disponibili sul portale Ariel del corso.
Gli studenti possono sostenere la prova d'esame o mediante le cosiddette prove in itinere o mediante la partecipazione agli appelli d'esame.
Prove in itinere
Prima degli appelli lo Studente ha la facoltà (e non l'obbligo) di sostenere, ai fini del superamento dell'esame, due prove in itinere; ognuna avrà la durata di 90 minuti. La prima alla fine del primo emi-semestre, verterà sugli argomenti presentati nella prima parte del corso; la seconda si svolgerà alla fine del semestre e verterà sugli argomenti presentati nella seconda parte del corso.
Ciascuna prova in itinere è costituita da tre problemi/esercizi e una domanda di teoria.
In particolare, possono presentarsi le seguenti situazioni
- Lo studente ottiene una votazione non inferiore a 18/30 nella prima prova in itinere. In questo primo caso lo studente può sostenere la seconda prova in itinere al termine del semestre. Se nella seconda prova lo studente otterrà una votazione non inferiore a 18/30 allora l'esame risulterà superato con una votazione data dalla media dei risultati conseguiti nelle due prove in itinere.
- Lo studente, superata la prima prova in itinere, nella seconda prova in itinere non ottiene una votazione di 18/30 o risulta assente. In questo secondo caso lo studente dovrà ripetere l'esame integralmente in uno dei successivi appelli previsti.
- Lo studente non supera la prima prova in itinere o risulta assente. In questo terzo caso lo studente non potrà essere ammesso alla seconda prova in itinere, ma dovrà sostenere l'esame integralmente in uno dei successivi appelli previsti.
Si ricorda che la partecipazione alle prove in itinere non è obbligatoria.
Per ragioni organizzative, si invitano comunque coloro che, pur avendo superato la prima prova in itinere, per qualsiasi motivo non intendano sostenere la seconda, a darne comunicazione via e-mail al docente almeno una settimana prima della data della seconda prova stessa.
Appelli d'esame
Un appello d'esame implica per lo studente una prova scritta della durata di 120 minuti costituita da cinque problemi/esercizi e una domanda di teoria, riguardanti l'intero programma del corso svolto nel semestre.
Se la valutazione è inferiore a 18/30 lo studente viene rimandato agli appelli successivi.
Gli appelli d'esame hanno luogo una volta terminato il corso. Il primo appello (cosiddetto "preappello") viene di norma organizzato in concomitanza con la seconda prova in itinere.
Il preappello è aperto a tutti gli allievi indipendentemente dall'esito della prima prova in itinere; chi non svolge la seconda prova in itinere e partecipa al preappello annullerà automaticamente un eventuale esito positivo della prima prova in itinere.
Regole
Per sostenere una prova scritta, sia in itinere che in appello, gli studenti devono essere regolarmente iscritti tramite SIFA e devono presentarsi davanti all'aula 15 minuti prima dell'inizio della prova scritta, muniti di tesserino universitario, di documento di identità con foto e di fogli protocollo. Le date, l'ora e le aule delle prove saranno reperibili sul SIFA.
Durante ogni prova scritta è vietato consultare libri, appunti, formulari, utilizzare calcolatrici di qualsiasi tipo, computer e telefoni cellulari. È inoltre vietato comunicare con gli altri studenti, pena l'espulsione dall'aula. Durante la prova scritta è inoltre vietato allontanarsi dall'aula. Al termine della prima ora gli studenti che lo desiderano possono consegnare o ritirarsi.
La comunicazione dell'esito delle prove scritte avviene tramite il portale Ariel, contestualmente viene comunicata la data per la visione e la discussione delle prove corrette. Gli studenti non sono obbligati a presentarsi a tale appuntamento.
Un'eventuale rinuncia ad una votazione positiva (> o = 18/30) ottenuta nella prova scritta deve essere espressamente comunicata dallo studente al docente al più tardi entro il termine della visione delle prove, con la conseguente ripetizione dell'esame.
Esame orale
Lo studente che abbia ottenuto una valutazione maggiore o uguale a 25/30 dopo le due prove in itinere o in sede d'appello d'esame può chiedere di sostenere una prova orale per integrare la valutazione. Per ragioni organizzative la richiesta dovrà pervenire al docente entro le 48 ore che precedono il giorno della visione dei compiti.
Le eventuali prove orali si svolgono in genere al termine della visione dei compiti.
Durante la prova orale verrà commentata la prova scritta e saranno valutate le capacità dello studente di utilizzare un linguaggio e una simbologia appropriati, di focalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso i più opportuni modelli algebrici e grafici e di analizzare e interpretare i risultati ottenuti.
Lo studente è reso consapevole del fatto che potrà aumentare o diminuire il voto dello scritto, dal momento che il voto finale dell'esame espresso in trentesimi consisterà nella media aritmetica tra il voto dello scritto e quello dell'orale.
Esempi di prove scritte degli anni passati sono disponibili sul portale Ariel del corso.
Docente/i
Ricevimento:
Orario e data verranno concordati su appuntamento (la richiesta va effettuata via mail)
L'aula sarà segnalata ogni volta via mail