Matematica e statistica

Matematica:

Insiemi.
Operazioni con gli insiemi. Insiemi numerici. Intervalli. Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di insiemi .Valore assoluto, distanza. Intorni.

Funzioni.
Il concetto di funzione. Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Composizione di funzioni, altre operazioni tra funzioni. Funzione inversa. Grafici di funzioni lineari, quadratiche,potenza esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e iperboliche. Funzioni limitate. Funzioni monotòne.
Massimi/minimi: globali e locali. Funzioni concave/convesse.

Algebra lineare.
Matrici e vettori, determinante di una matrice, matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Trasformazioni lineari. Operazioni con le matrici.

Limiti di funzioni e continuità.
Asintoti. Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Calcolo dei limiti. Forme d'indecisione. Criterio del confronto. I simboli ~ e o. Cambio di variabile. Limiti notevoli. Continuità per funzioni di una variabile reale. Punti di discontinuità. Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri (o di Bolzano).

Calcolo differenziale con una variabile.
Rapporto incrementale, derivata in un punto, derivabilità; significato geometrico, equazione della retta tangente. Regole di derivazione. Derivata della funzione inversa. Derivate di ordine superiore. Differenziabilità, differenziale. Relazioni tra derivabilità e differenziabilità. Punti stazionari. Condizione necessaria per i punti di massimo/minimo locale (teorema di Fermat). Teorema di Rolle. Teorema del valor medio di Lagrange. Test di monotonia/stretta monotonia su un intervallo. Polinomio di Taylor e polinomio di Maclaurin. Teorema di Taylor; formula di Taylor e formula di Maclaurin di ordine n, con resto secondo Peano. Seconda condizione sufficiente per i punti di massimo/minimo locale. Determinazione dei punti di massimo/minimo locali e globali. Studio del grafico di una funzione.

Introduzione al calcolo integrale.
Primitiva di una funzione, l'integrale di Riemann, teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo dell'area sotto la curva, Metodi di integrazione: integrali immediati, integrazione per sostituzione, integrazione per parti. Valore medio integrale. Integrali generalizzati, integrali impropri su intervalli illimitati.

Statistica:

La statistica descrittiva.
Concetto di variabilità, popolazione-e-campione. L'analisi e l'interpretazione dei dati. Misure di centralità, dispersione e posizione. Variabili qualitative e quantitative.

Probabilità.
Elementi di calcolo delle probabilità. Variabili aleatorie discrete e continue. Assiomi della probabilità. Teorema di Bayes. Valore atteso e varianza. Vettori aleatori discreti . Covarianza, correlazione. Le distribuzioni di probabilità. Distribuzione binomiale. Distribuzione di Poisson. Distribuzione esponenziale, Uniforme. Distribuzione normale: Variabile z standardizzata, uso della tavola di distribuzione normale standardizzata. Distribuzione t-student (cenni). Il teorema centrale del limite. Approssimazione con la distribuzione di Poisson e con la distribuzione Normale. Test di ipotesi sulla media con varianza nota e ignota (cenni).