Meccanica analitica 2
A.A. 2023/2024
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende fornire una introduzione alla fenomenologia e alla teoria dei sistemi dinamici, con particolare riferimento alla coesistenza di moti ordinati e moti caotici nei sistemi hamiltoniani. Si studieranno i più semplici metodi della teoria delle perturbazioni e della teoria ergodica. Si intende anche fornire una connessione tra quest'ultima ed i fondamenti dinamici della meccanica quantistica. L'insegnamento prevede anche un laboratorio per lo studio numerico di semplici modelli.
Risultati apprendimento attesi
Alla fine dell'insegnamento lo studente:
1) saprà cosa si intende per coesistenza di moti ordinati e moti caotici avendola osservata, con una esercitazione numerica in un apposito laboratorio,
2) Avrà imparato le nozioni di punto fisso iperbolico, varietà stabile ed instabile, punto omoclino, orbita omoclinica.
3) Avrà costruito le varietà stabile e instabile relative al punto fisso principale dello standard map, e trovato l'orbita omoclina.
4) Conoscerà l'enunciato del teorema della varietà stabile.
5) Conoscerà il modello della traslazione del toro e avrà compreso la differenza tra il caso razionale e quello irrazionale, e conoscerà il modello del gatto di Arnold.
6) Conoscerà le nozioni fondamentali riguardanti i sistemi ergodici, e saprà dimostrare la ergodicità della traslazione del toro nel caso irrazionale, e le proprietà di mixing del gatto di Arnold.
7) Conoscerà le nozioni fondamentali relative alla teoria delle perturbazioni per sistemi hamiltoniani e l'enunciato del teorema KAM.
8) Conoscerà la dimostrazione del teorema della varieta' stabile.
1) saprà cosa si intende per coesistenza di moti ordinati e moti caotici avendola osservata, con una esercitazione numerica in un apposito laboratorio,
2) Avrà imparato le nozioni di punto fisso iperbolico, varietà stabile ed instabile, punto omoclino, orbita omoclinica.
3) Avrà costruito le varietà stabile e instabile relative al punto fisso principale dello standard map, e trovato l'orbita omoclina.
4) Conoscerà l'enunciato del teorema della varietà stabile.
5) Conoscerà il modello della traslazione del toro e avrà compreso la differenza tra il caso razionale e quello irrazionale, e conoscerà il modello del gatto di Arnold.
6) Conoscerà le nozioni fondamentali riguardanti i sistemi ergodici, e saprà dimostrare la ergodicità della traslazione del toro nel caso irrazionale, e le proprietà di mixing del gatto di Arnold.
7) Conoscerà le nozioni fondamentali relative alla teoria delle perturbazioni per sistemi hamiltoniani e l'enunciato del teorema KAM.
8) Conoscerà la dimostrazione del teorema della varieta' stabile.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
-- Introduzione alla teoria dei sistemi dinamici e alla generica coesistenza di moti ordinati e moti caotici. L'esempio della 'standard map'. L'ultimo teorema di Poincaré nella versione di Arnold. L'apparire del caos attraverso i punti fissi iperbolici e le orbite omocline. Il teorema della varietà stabile locale.
-- Introduzione alla teoria delle perturbazioni. Il teorema della media. L'azione come invariante adiabatico. Le variabili azione--angolo per sistemi completamente integrabili. Il teorema di Liouville. Il teorema della media per sistemi con più angoli veloci.
-- Introduzione alla teoria ergodica. Motivazione fisica per lo studio delle medie temporali. Ruolo della probabilità sui dati iniziali. Il teorema di Liouville, il teorema del ritorno di Poincare', il teorema ergodico di von Neumann, e sua interpretazione fisica. L'approccio all'equilibrio e le proprietà di mescolamento (mixing) dei flussi; il decadimento delle correlazioni temporali. L'irreversibilità macroscopica tramite la reversibilità microscopica. L'esempio del calore specifico, e ``deduzione'' della seconda legge della termodinamica attraverso il teorema di fluttuazione dissipazione. La termodinamica come teoria delle grandi deviazioni: giustificazione della distribuzione canonica.
-- Introduzione alla teoria delle perturbazioni. Il teorema della media. L'azione come invariante adiabatico. Le variabili azione--angolo per sistemi completamente integrabili. Il teorema di Liouville. Il teorema della media per sistemi con più angoli veloci.
-- Introduzione alla teoria ergodica. Motivazione fisica per lo studio delle medie temporali. Ruolo della probabilità sui dati iniziali. Il teorema di Liouville, il teorema del ritorno di Poincare', il teorema ergodico di von Neumann, e sua interpretazione fisica. L'approccio all'equilibrio e le proprietà di mescolamento (mixing) dei flussi; il decadimento delle correlazioni temporali. L'irreversibilità macroscopica tramite la reversibilità microscopica. L'esempio del calore specifico, e ``deduzione'' della seconda legge della termodinamica attraverso il teorema di fluttuazione dissipazione. La termodinamica come teoria delle grandi deviazioni: giustificazione della distribuzione canonica.
Prerequisiti
Nozioni elementari sulle equazioni differenziali ordinarie, in particolate il teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Elementi di Meccanica Hamiltoniana: spazio delle fasi, equazioni di Hamilton, variabili dinamiche. Elementi di teoria dell'integrazione: misura di un insieme, integrale di Lebesgue.
Metodi didattici
Lezioni frontali in cui si illustrano gli argomenti dettagliati nel programma. Vi è inoltre un laboratorio numerico, in cui si tracciano i ritratti in fase dello standard map, dell pendolo forzato e del modello di Henon e Heiles.
Materiale di riferimento
V. I. Arnold and A. Avez, "Ergodic Problems of Classical Mechanics", Addison-Wesley;
Carati, Galgani, "Appunti di Meccanica Analitica 2", disponibili sia su Ariel che sulla home page del docente.
Carati, Galgani, "Appunti di Meccanica Analitica 2", disponibili sia su Ariel che sulla home page del docente.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una discussione orale che verte sugli argomenti del programma, volto prevalentemente ad accertare la comprensione degli argomenti teorici affrontati nelle lezioni.
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio - Dipartimento di Matematica - Via Saldini 50