Metodi matematici della fisica: geometria e gruppi 2

A.A. 2023/2024
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
FIS/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento si prefigge di fornire allo studente le basi per lo studio dei sistemi fisici con simmetrie continue, attraverso lo studio sistematico dei gruppi di Lie e delle loro rappresentazioni. L'insegnamento fornisce delle conoscenze importanti per affrontare i corsi di Fisica Teorica, Teoria delle Interazioni Fondamentali e Gravità e Superstringhe.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente:

1) saprà maneggiare alcune nozioni basilari di geometria differenziale:
varietà, spazi e fibrati tangenti, campi vettoriali, forme differenziali
2) conoscerà le nozioni di gruppo di Lie e algebra di Lie e la relazione
tra essi. Conoscerà inoltre le nozioni di sottogruppo a un parametro,
mappa esponenziale, rappresentazione aggiunta, forma di Killing
3) conoscerà la classificazione delle algebre di Lie semisemplici
complesse e le nozioni di sottoalgebra di Cartan, radice, diagramma di
Dynkin, forma reale di un'algebra complessa
4) conoscerà e saprà maneggiare la teoria delle rappresentazioni delle
algebre di Lie semisemplici e i diagrammi dei pesi. Conoscerà la relazione
tra le rappresentazioni di un'algebra di Lie e quelle del gruppo di Lie
associato
5) saprà maneggiare i prodotti di rappresentazioni
6) saprà decomporre le rappresentazioni delle algebre in termini di
rappresentazioni di sottoalgebre
7) conoscerà in dettaglio alcuni gruppi con particolare rilevanza in
fisica: i gruppi unitari U(N), i gruppi ortogonali O(N), il gruppo di
Lorentz e il gruppo di Poincaré, le cui rappresentazioni sono classificate
tramite massa e spin.
Corso singolo

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Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Periodo
Primo semestre

Programma
Nell'insegnamento vengono studiati i gruppi di Lie e le algebre di Lie e vengono
discussi vari aspetti della teoria delle loro rappresentazioni.

- Geometria differenziale: varietà, spazi e fibrati tangenti, campi
vettoriali, forme differenziali
- Gruppi di Lie e algebre di Lie. Relazione tra algebra e gruppo.
Sottogruppi a un parametro. Mappa esponenziale. Rappresentazione aggiunta.
Forma di Killing.
- Classificazione delle algebre di Lie semisemplici complesse:
sottoalgebre di Cartan, radici, diagrammi di Dynkin. Forme reali.
- Rappresentazioni irriducibili delle algebre di Lie semisemplici. Relazioni
tra le rappresentazioni di un'algebra di Lie e quelle del gruppo di Lie
associato. Pesi. Prodotti di rappresentazioni.
- Sottoalgebre e sottogruppi. Decomposizione di rappresentazioni.
- Analisi di simmetrie con particolare rilevanza in fisica. I gruppi
unitari U(N) e ortogonali O(N). Il gruppo di Lorentz. Il gruppo di
Poincaré: classificazione delle sue rappresentazioni tramite massa e spin.
Prerequisiti
Conoscenze di analisi matematica e algebra lineare.
Metodi didattici
Lezioni alla lavagna con discussione teorica e svolgimento di esercizi
sugli argomenti trattati.
Materiale di riferimento
MATERIALE DI RIFERIMENTO:

- F. Warner, "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups"
- J.F. Cornwell, "Group Theory in Physics", Vol.1 and Vol.2
- A. Arvanitoyeorgos, "An Introduction to Lie Groups and the Geometry of
Homogeneous Spaces"
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esercizi da svolgere a casa ed esame orale con discussione delle soluzioni
e degli argomenti trattati a lezione.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente: Santambrogio Alberto