Geometria 4

0) COMPLEMENTI DI TOPOLOGIA (P. M.)
- Spazi metrici
Spazi metrici e distanza; esempi (metriche limitate, metrica della convergenza uniforme su
C^0([a, b]), distanza L^1 su C0([0, 1])). Continuità in spazi metrici. Successioni e limiti,
sottosuccessioni, valori limite. Richiami su primo assioma di numerabilità e proprietà di spazi
che lo soddisfano. Successioni in spazi metrici, successioni di Cauchy, completezza; metrica
indotta su un sottospazio; completamento di uno spazio metrico "alla Cantor"; isometrie.
- Compattezza, assiomi di numerabilità, paracompattezza, separabilità
Compattezza in R^n con la topologia Euclidea: teorema di Heine-Borel. Nozioni equivalenti
di compattezza in spazi metrici. Spazi metrici totalmente limitati, numero di Lebesgue di un
ricoprimento; caratterizzazione della compattezza di uno spazio metrico (X, d) e relazioni con
la completezza. Compattezza secondo Lindeloff; paracompattezza. Separabilità e assiomi di
numerabilità.
VARIETÀ DIFFERENZIABILI (P. M.)
1) Varietà differenziabili
Varietà topologiche ed esempi (grafici di funzioni continue, sfere, varietà prodotto) proprietà
topologiche della varietà topologiche; strutture differenziali e atlanti; varietà differenziabili
ed esempi (spazi Euclidei, spazi vettoriali finito-dimensionali, spazi di matrici, sfere, insiemi
di livello per applicazioni da R^m a R, varietà prodotto). Varietà topologiche con bordo,
varietà differenziabili con bordo. Costruzione dello spazio proiettivo reale P_R^m.
2) Mappe tra varietà differenziabili
Funzioni lisce, rappresentazioni in coordinate; mappe lisce; continuità delle mappe lisce,
caratterizzazioni equivalenti; esempi di mappe lisce; diffeomorfismi; partizioni dell'unità,
esistenza delle bump functions.
3) Lo spazio tangente
Algebra dei germi delle funzioni localmente lisce in un punto; vettori tangenti e legame con
le derivate direzionali nel caso Euclideo; struttura di spazio vettoriale m-dimensionale di
T_pM; la mappa differenziale (o pushforward) e sue proprietà; base canonica dello spazio
tangente in un punto; spazio tangente ad un aperto di una varietà;curve lisce su una varietà,
vettore tangente a una curva e rappresentazione in coordinate; spazio tangente ad uno
spazio vettoriale finito-dimensionale; spazio cotangente e base duale; pullback (o
codifferenziale); espressione locale per il pushforward. Cambi di coordinate.
4) Teorema del rango, teorema della funzione inversa e applicazioni; immersioni,
submersioni, embedding e sottovarietà
Teorema della funzione inversa; rango di una mappa; teorema del rango; immersioni e
submersioni; teorema della funzione inversa e teorema del rango nel caso di varietà;
embedding topologici ed embedding lisci; condizioni sufficienti affinché un'immersione liscia
iniettiva sia un embedding; ogni immersione liscia è localmente un embedding. Sottovarietà
lisce: sottovarietà embedded, legame tra embedding lisci e sottovarietà embedded, grafici di
mappe lisce come sottovarietà embedded; condizione locale di k-slice, insiemi di livello di
mappe lisce di rango costante; punti/valori regolari e punti/valori critici per mappe lisce,
teorema della fibra; mappe locali di definizione. Sottovarietà immerse, parametrizzazioni
locali e globali. Restrizione di mappe a sottovarietà; spazio tangente ad una sottovarietà:
caratterizzazione nel caso embedded, caso delle mappe locali di definizione.
5) Il fibrato tangente e il fibrato cotangente - campi vettoriali
Il fibrato tangente: base della topologia, struttura differenziale, atlante liscio a partire da
quello della varietà soggiacente; pushforward come mappa globale. Campi vettoriali come
sezioni del fibrato tangente, componenti in una carta locale, caratterizzazione dei campi
vettoriali lisci mediante l'azione su funzioni lisce; campi vettoriali lungo sottoinsiemi di una
varietà; struttura algebrica del modulo \mathfrak{X}(M) sull'anello delle funzioni lisce;
parentesi di Lie e sue proprietà, algebre di Lie; cenno all'algebra di Lie di un gruppo di Lie,
campi \psi-legati, campi invarianti a sinistra; curve integrali di un campo vettoriale, flusso
locale; significato geometrico della parentesi di Lie. Fibrato cotangente e 1-forme, pullback
di 1-forme e sue proprietà, differenziale di una funzione liscia.
6) Fibrati vettoriali (cenni)
Fibrati vettoriali, fibrati vettoriali lisci, trivializzazioni locali; esempi: fibrato prodotto, fibrato
di Möbius, fibrato tangente; composizione di trivializzazioni locali lisce e funzioni di
transizione; sezioni locali/globali e sezioni lisce, restrizione di un fibrato vettoriale, esempi
di sezioni; frame locali e globali, frame locali associati a trivializzazioni locali; varietà
parallelizzabili; caratterizzazione delle sezioni lisce tramite frame lisci.
7) Algebra multilineare e campi tensoriali
Applicazioni multilineari ed esempi; prodotto tensore di funzioni multilineari; base per lo
spazio delle funzioni multilineari; prodotto tensoriale astratto di spazi vettoriali, tensori
decomponibili; spazio vettoriale libero su un insieme e proprietà caratteristica; proprietà
caratteristica del prodotto tensoriale di spazi vettoriali, base per il prodotto tensoriale;
confronto tra prodotto tensoriale astratto e "concreto"; tensori covarianti, controvarianti e
di tipo misto su uno spazio vettoriale V, basi indotte dalla scelta di una base per V; tensori
simmetrici su V: simmetrizzazione, prodotto simmetrico e proprietà; tensori alternanti
(skew-simmetrici) su V. Tensori, campi tensoriali e fibrati tensoriali su varietà;
caratterizzazione dei k-tensori covarianti lisci tramite la multilinearità sulle funzioni lisce;
campi tensoriali simmetrici; pullback di campi tensoriali tramite applicazioni lisce e sue
proprietà.
8) Forme differenziali e differenziale esterno
Algebra dei tensori alternanti, antisimmetrizzazione; tensori alternanti elementari e base per
\Lambda^k(V^*); n-forme ed endomorfismi; prodotto wedge e sue proprietà; k-covettori
decomponibili; algebra esterna; moltiplicazione interna. Forme differenziali su varietà,
pullback tramite mappe lisce, prodotto wedge e cambio di coordinate; integrali di linea di 1-
forme e proprietà, teorema fondamentale per gli integrali di linea; campi di 1-forme esatti,
chiusi, conservativi; l'operatore di derivazione esterna (o differenziale esterno): caso
Euclideo e proprietà, caso delle varietà; differenziale esterno e pullback; campi di k-forme
chiusi ed esatti; formulazione "invariante" del differenziale esterno.
9) Varietà orientate e integrazione su varietà
Basi equiorientate di spazi vettoriali, orientazione, legame tra orientazioni e tensori
alternanti; orientabilità e orientazioni su varietà, varietà orientate, forme di orientazone;
orientazione delle ipersuperfici, orientazone del bordo di varietà con bordo. Integrazione di
forme differenziali: caso Euclideo, integrazione su varietà, indipendenza dal ricoprimento e
dalla partizione dell'unità; proprietà degli integrali di forme; teorema di Stokes.
10) Cenno alle varietà Riemanniane
Metriche Riemanniane, metrica indotta da un'immersione; esempi di metriche metrica
piatta, metrica prodotto, coordinate polari, metrica sull'elicoide); lunghezza di un vettore,
angolo tra vettori; frame ortonormali; lunghezza di un segmento di curva C^1 a tratti,
invarianza per cambi di parametrizzazione; distanza Euclidea, distanza su una varietà
Riemanniana; varietà Riemanniane come spazi metrici e topologia indotta dalla distanza
(solo enunciato del teorema); isomorfismo tra spazio tangente e cotangente, isomorfismi
musicali, legame tra differenziale e gradiente.

Curve e superfici differenziabili (A. G.)
1) CURVE PIANE:
Introduzione alle Curve nel piano. Ascissa curvilinea. Equazioni di Frenet. Interpretazione
geometrica della curvatura. Teorema di rigidità per curve nel piano. Curvatura per curve
piane non parametrizzate mediante ascissa curvilinea. Calcolo della curvatura dell'Ellisse e
della cicloide. Curvatura per curve date in forma cartesiana. Le coniche non degeneri.
2) CURVE NELLO SPAZIO:
Prodotto vettoriale. Curve nello spazio. Equazioni di Frenet. L'elica Cilindrica . Calcolo della
sua ascissa curvilinea, torsione e curvatura. Interpretazione della torsione. Teorema di
rigidità per curve nello spazio (solo enunciato).
3) SUPERFICI:
Definizione di Superficie Elementare, o foglio semplice di superficie. Definizione di spazio
tangente e piano tangente affine. Interpretazione geometrica del piano tangente. Grafico di
una funzione C. Definizione di superficie regolare. Esempi (la sfera). Teorema del cambio
delle coordinate.
-Prima forma fondamentale. Calcolo di lunghezze, ampiezza di angoli e area
di regioni. -Mappe differenziabili tra superfici. La mappa differenziale. Esempi. Il campo
normale. -La mappa di Gauss. Operatore di Weingarten. Linearità e simmetria. Curvatura
normale. Curvature principali come max e min della curvatura normale e come autovalori
reali dell'operatore di Weingarten. Interpretazione geometrica della seconda forma
fondamentale. -Linee di curvatura, curve asintotiche. Caratterizzazione di punti sulla
superficie. Superfici con tutti i punti ombelicali. -Isometrie locali tra superfici. Simboli di
Christoffel. Il teorema egregium di Gauss (Idea della dimostrazione) e sue
conseguenze. Definizione di geodetiche e derivata covariante. Cenni sul Teorema di Gauss Bonnet e sue applicazioni.