Geometria 3

TOPOLOGIA

· Spazi Topologici: prime definizioni (di topologia, aperto chiuso, chiusura, interno) ed esempi di topologie (banale, discreta, metrica, cofinita, su R delle semirette aperte); topologie più o meno fini; basi; sottoinsieme densi; punti di accumulazione; Sistemi fondamentali di intorni

· Funzioni continue: Definizione e caratterizzazione della continuità fra spazi topologici; omeomorfismo e gruppo degli omeomorfismi di uno spazio topologico; funzioni aperte e chiuse

· Spazi metrici: Topologia metrica; bolle aperte; Continuità in spazi metrici; Metrizzabilità di uno spazio topologico

· Topologia indotta: definizione di topologia indotta, caratterizzazione; esempi; topologia indotta in spazi metrici

· Topologia prodotto: definizione di topologia prodotto, base, caratterizzazione di mappe continue in un prodotto topologico

· Topologia quoziente: definizione di topologia quoziente e caratterizzazione; aperti saturi; proprietà universale dei quozienti; quozienti per una relazione di equivalenza. Identificazioni e mappa esponenziale. Esempi di quozienti topologici: contrazione a un punto di un sottospazio, identificazioni poligoni (cilindro, nastro di Moebius, toro), quozienti per incollamento, quoziente per azione di gruppo.

· Proprietà topologiche:

i. proprietà di separazione (T1,T2,T3,T4). Relazioni, caratterizzazioni equivalenti, esempi e controesempi.

ii. Connessione: definizioni, proprietà e caratterizzazioni; la connessione in R e R^n, la connessione di prodotti e quozienti

iii. Connessione per archi: definizione, caratterizzazione, relazione con la connessione. Connessione per archi in R^n

iv. Compattezza: definizione e primi esempi; la compattezza in R^n e in T2; compattificazione di Alexandrov

· Omotopia fra cammini e fra spazi topologici: definizione di omotopia fra cammini; omotopia fra funzioni come relazione di equivalenza; insieme dei cammini chiusi; definizione di omotopia fra spazi topologici, l'omotopia fra spazi topologici è una relazione di equivalenza; esempi di omotopia: spazi contraibili; retratti di deformazione e retratti forti di deformazione

· Gruppo fondamentale: risultati preliminari e presentazione di gruppi; definizione del gruppo fondamentale; spazi semplicemente connessi; funtorialità; teorema di Seifer van Kampen; esempi di calcolo del gruppo fondamentale di spazi topologici: spazi contraibili, S^1, S^n, bouquet di circonferenze, identificazioni di poligoni, alcuni sottospazi di R^2 ed R^3.

CURVE E SUPERFICI

· Introduzione alle Curve nel piano. Ascissa curvilinea. Equazioni di Frenet nel piano;

· Differenze nel piano e nello spazio. Curve nello spazio. Basi positivamente orientate e Prodotto vettoriale;

· Curvatura, torsione e terna di Frenet per curve nello spazio;

· Definizione di Superficie Elementare, o foglio semplice di superficie. Definizione di spazio tangente e piano tangente affine. Interpretazione geometrica del piano tangente. Grafico di una funzione C^\infty. Definizione di superficie regolare. Esempi (la sfera). Superficie come varietà differenziabile di dimensione 2;

· Prima forma fondamentale. Superfici di rotazione e superfici rigate;

· Calcolo di lunghezze, ampiezza di angoli e area di regioni. Mappe differenziabili tra superfici. La mappa differenziale. La mappa di Gauss;

· Operatore di Weingarten. Curvatura normale. Teorema di Meusnier. Curvature principali come max e min della curvatura normale e come autovalori reali dell'operatore di Weingarten.

· Curvatura di Gauss in coordinate locali;

· Isometrie locali e globali. Il piano e il cilindro. Il catenoide e l'elicoide. Interpretazione geometrica della curvatura di Gauss. Il teorema Egregium di Gauss;

· Altri concetti di geometria intrinseca.