Geometria 4

0) COMPLEMENTI DI TOPOLOGIA

- Spazi metrici
Spazi metrici e distanza; esempi (metriche limitate, metrica della convergenza uniforme su C^0([a, b]), distanza L^1 su C0([0, 1])). Continuità in spazi metrici. Successioni e limiti, sottosuccessioni, valori limite. Richiami su primo assioma di numerabilità e proprietà di spazi che lo soddisfano. Successioni in spazi metrici, successioni di Cauchy, completezza; metrica indotta su un sottospazio; isometrie.

- Compattezza, assiomi di numerabilità, paracompattezza, separabilità
Nozioni equivalenti di compattezza in spazi metrici: compattezza secondo Fréchet, compattezza per successioni. Spazi metrici totalmente limitati, numero di Lebesgue di un ricoprimento; caratterizzazione della compattezza di uno spazio metrico (X, d) e relazioni con la completezza. Compattezza secondo Lindeloff; paracompattezza. Separabilità e assiomi di numerabilità.



VARIETÀ DIFFERENZIABILI

1) Varietà differenziabili
Varietà topologiche ed esempi (grafici di funzioni continue, sfere, varietà prodotto) proprietà topologiche della varietà topologiche; strutture differenziali e atlanti; varietà differenziabili ed esempi (spazi Euclidei, spazi vettoriali finito-dimensionali, spazi di matrici, sfere, insiemi di livello per applicazioni da R^m a R, varietà prodotto). Varietà topologiche con bordo, varietà differenziabili con bordo. Costruzione dello spazio proiettivo reale P_R^m.

2) Mappe tra varietà differenziabili
Funzioni lisce, rappresentazioni in coordinate; mappe lisce; continuità delle mappe lisce, caratterizzazioni equivalenti; esempi di mappe lisce; diffeomorfismi; partizioni dell'unità, esistenza delle bump functions.

3) Lo spazio tangente
Algebra dei germi delle funzioni localmente lisce in un punto; vettori tangenti e legame con le derivate direzionali nel caso Euclideo; struttura di spazio vettoriale m-dimensionale di T_pM; la mappa differenziale (o pushforward) e sue proprietà; base canonica dello spazio tangente in un punto; spazio tangente ad un aperto di una varietà; curve lisce su una varietà, vettore tangente a una curva e rappresentazione in coordinate; spazio tangente ad uno spazio vettoriale finito-dimensionale; spazio cotangente e base duale; pullback (o codifferenziale); espressione locale per il pushforward. Cambi di coordinate.

4) Teorema del rango, teorema della funzione inversa e applicazioni; immersioni, submersioni, embedding e sottovarietà
Teorema della funzione inversa; rango di una mappa; teorema del rango; immersioni e submersioni; teorema della funzione inversa e teorema del rango nel caso di varietà; embedding topologici ed embedding lisci; condizioni sufficienti affinché un'immersione liscia iniettiva sia un embedding; ogni immersione liscia è localmente un embedding. Sottovarietà lisce: sottovarietà embedded, legame tra embedding lisci e sottovarietà embedded, grafici di mappe lisce come sottovarietà embedded; condizione locale di k-slice, insiemi di livello di mappe lisce di rango costante; punti/valori regolari e punti/valori critici per mappe lisce, teorema della fibra; mappe locali di definizione. Sottovarietà immerse, parametrizzazioni locali e globali. Restrizione di mappe a sottovarietà; spazio tangente ad una sottovarietà: caratterizzazione nel caso embedded, caso delle mappe locali di definizione.


5) Il fibrato tangente e il fibrato cotangente - campi vettoriali
Il fibrato tangente: base della topologia, struttura differenziale, atlante liscio a partire da quello della varietà soggiacente; pushforward come mappa globale. Campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente, componenti in una carta locale, caratterizzazione dei campi vettoriali lisci mediante l'azione su funzioni lisce; campi vettoriali lungo sottoinsiemi di una varietà; struttura algebrica del modulo \mathfrak{X}(M) sull'anello delle funzioni lisce; parentesi di Lie e sue proprietà, algebre di Lie; cenno all'algebra di Lie di un gruppo di Lie, campi \psi-legati, campi invarianti a sinistra; curve integrali di un campo vettoriale, flusso locale; significato geometrico della parentesi di Lie. Fibrato cotangente e 1-forme, pullback di 1-forme e sue proprietà, differenziale di una funzione liscia.

6) Fibrati vettoriali (cenni)
Fibrati vettoriali, fibrati vettoriali lisci, trivializzazioni locali; esempi: fibrato prodotto, fibrato di Möbius, fibrato tangente; composizione di trivializzazioni locali lisce e funzioni di transizione; sezioni locali/globali e sezioni lisce, restrizione di un fibrato vettoriale, esempi di sezioni; frame locali e globali, frame locali associati a trivializzazioni locali; varietà parallelizzabili.

7) Algebra multilineare e campi tensoriali
Applicazioni multilineari ed esempi; prodotto tensore di funzioni multilineari; base per lo spazio delle funzioni multilineari; tensori decomponibili; tensori covarianti, controvarianti e di tipo misto su uno spazio vettoriale V, basi indotte dalla scelta di una base per V; tensori simmetrici su V: simmetrizzazione, prodotto simmetrico e proprietà; tensori alternanti (skew-simmetrici) su V. Tensori, campi tensoriali e fibrati tensoriali su varietà; caratterizzazione dei k-tensori covarianti lisci tramite la multilinearità sulle funzioni lisce; campi tensoriali simmetrici; pullback di campi tensoriali tramite applicazioni lisce e sue proprietà.

8) Forme differenziali e differenziale esterno
Algebra dei tensori alternanti, antisimmetrizzazione; tensori alternanti elementari e base per \Lambda^k(V^*); n-forme ed endomorfismi; prodotto wedge e sue proprietà; k-covettori decomponibili; algebra esterna. Forme differenziali su varietà, pullback tramite mappe lisce, prodotto wedge e cambio di coordinate; integrali di linea di 1-forme e proprietà, teorema fondamentale per gli integrali di linea; campi di 1-forme esatti, chiusi, conservativi; l'operatore di derivazione esterna (o differenziale esterno): caso Euclideo e proprietà, caso delle varietà; differenziale esterno e pullback; campi di k-forme chiusi ed esatti; formulazione "invariante" del differenziale esterno.

9) Varietà orientate e integrazione su varietà
Basi equiorientate di spazi vettoriali, orientazione, legame tra orientazioni e tensori alternanti; orientabilità e orientazioni su varietà, varietà orientate, forme di orientazione; orientazione delle ipersuperfici, orientazione del bordo di varietà con bordo. Integrazione di forme differenziali: caso Euclideo, integrazione su varietà, indipendenza dal ricoprimento e dalla partizione dell'unità; proprietà degli integrali di forme; teorema di Stokes.

10) Cenno alle varietà Riemanniane
Metriche Riemanniane, metrica indotta da un'immersione; esempi di metriche (metrica piatta, coordinate polari, metrica sull'elicoide); lunghezza di un vettore, angolo tra vettori; frame ortonormali; lunghezza di un segmento di curva liscia a tratti, invarianza per cambi di parametrizzazione; distanza su una varietà Riemanniana; varietà Riemanniane come spazi metrici e topologia indotta dalla distanza; isomorfismo tra spazio tangente e cotangente, isomorfismi musicali, legame tra differenziale e gradiente.