Geometria riemanniana
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
Il corso si propone di introdurre lo studente ad argomenti avanzati di geometria classica delle superfici nello spazio Euclideo
Risultati apprendimento attesi
Una pratica all' uso del moving frame e degli strumenti analitici nello studio di problemi geometrici
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
QUICK REVIEW DI GEOMETRIA RIEMANNIANA:
- Metriche, connessioni e curvatura.
- Variazione prima dell'energia: geodetiche, mappa esponenziale, carta normale.
- Teorema di Hopf-Rinow. Completezza e ricoprimenti.
- Variazione seconda e campi di Jacobi. Punti coniugati e loro proprietà.
- Dominio massimale della carta normale e cut-locus. Regolarità della funzione distanza.
TEORIA DELLE SOTTOVARIETÀ
- Immersioni isometriche. Connessione indotta, seconda forma fondamentale e curvatura media. Equazioni fondamentali. Mappa di Gauss. Teorema di Hadamard per ipersuperfici.
- Variazione prima dell'area e sottovarietà minima (cenni, tempo permettendo)
TEOREMI DI CONFRONTO ED APPLICAZIONI
- Teorema di confronto per l'Hessiano della funzione distanze
- Applicazioni: teoremi di Cartan e di Tompkins (e di Preissman, tempo permettendo). Length comparison.
- Teorema di confronto del Laplaciano
- Applicazioni: teoremi di Bonnet-Myers e di Cheng (diameter rigidity).
- Teorema di confronto dei volumi (Bishop-Gromov)
TEOREMA DI SPLITTING:
- Raggi e linee, funzione di Busemann e teorema di Splitting di Cheeger-Gromoll.
- Applicazioni: struttura del ricoprimento universale di una varietà compatta con Ricci non negativo.
HODGE THEORY
- Operatore star di Hodge, forme armoniche
- Teorema di Hodge (senza dimostrazione)
- Applicazione: stima del primo numero di Betti di varietá con Ricci non negativo (Bochner' technique)
TEORIA DEI PUNTI CRITICI NON LISCI
- punti regolari e critici per la funzione distanza, c-pseudogradienti
- Lemma di deformazione non liscio.
- Applicazioni: teorema del disco.
- Teorema di Toponogov
- Applicazione: teorema di Grove-Shiohama (diameter sphere theorem)
- Soul Theorem
- Metriche, connessioni e curvatura.
- Variazione prima dell'energia: geodetiche, mappa esponenziale, carta normale.
- Teorema di Hopf-Rinow. Completezza e ricoprimenti.
- Variazione seconda e campi di Jacobi. Punti coniugati e loro proprietà.
- Dominio massimale della carta normale e cut-locus. Regolarità della funzione distanza.
TEORIA DELLE SOTTOVARIETÀ
- Immersioni isometriche. Connessione indotta, seconda forma fondamentale e curvatura media. Equazioni fondamentali. Mappa di Gauss. Teorema di Hadamard per ipersuperfici.
- Variazione prima dell'area e sottovarietà minima (cenni, tempo permettendo)
TEOREMI DI CONFRONTO ED APPLICAZIONI
- Teorema di confronto per l'Hessiano della funzione distanze
- Applicazioni: teoremi di Cartan e di Tompkins (e di Preissman, tempo permettendo). Length comparison.
- Teorema di confronto del Laplaciano
- Applicazioni: teoremi di Bonnet-Myers e di Cheng (diameter rigidity).
- Teorema di confronto dei volumi (Bishop-Gromov)
TEOREMA DI SPLITTING:
- Raggi e linee, funzione di Busemann e teorema di Splitting di Cheeger-Gromoll.
- Applicazioni: struttura del ricoprimento universale di una varietà compatta con Ricci non negativo.
HODGE THEORY
- Operatore star di Hodge, forme armoniche
- Teorema di Hodge (senza dimostrazione)
- Applicazione: stima del primo numero di Betti di varietá con Ricci non negativo (Bochner' technique)
TEORIA DEI PUNTI CRITICI NON LISCI
- punti regolari e critici per la funzione distanza, c-pseudogradienti
- Lemma di deformazione non liscio.
- Applicazioni: teorema del disco.
- Teorema di Toponogov
- Applicazione: teorema di Grove-Shiohama (diameter sphere theorem)
- Soul Theorem
Prerequisiti
Un corso basico di Geometria Differenziale (circa corrispondente ai primi 5 capitoli del libro di Do Carmo in bibliografia).
Una conoscenza base dei seguenti argomenti è utile ma non indispensabile.
- PDE (solo principi di confronto e massimo per funzioni armoniche, nozione di soluzioni deboli di una PDE ellittica);
- definizione di coomologia di deRham, Teorema di deRham;
- spazi di rivestimento.
Una conoscenza base dei seguenti argomenti è utile ma non indispensabile.
- PDE (solo principi di confronto e massimo per funzioni armoniche, nozione di soluzioni deboli di una PDE ellittica);
- definizione di coomologia di deRham, Teorema di deRham;
- spazi di rivestimento.
Metodi didattici
Lezione frontale, esercizi assegnati a casa e correzione compartecipata in classe
Materiale di riferimento
- P. Petersen, "Riemannian Geometry" (3rd ed.). Grad. Texts in Math. 171, Springer, Cham, 2016, xviii+499 pp.
- M.P. Do Carmo, "Riemannian Geometry", Math. Theory Appl. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, xiv+300 pp.
- I. Chavel, "Riemannian geometry—a modern introduction", Cambridge Tracts in Math., 108, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, xii+386 pp.
- M. Dajczer and R. Tojeiro, "Submanifold theory", Universitext, Springer, New York, 2019, xx+628 pp.
- (per una dimostrazione del teorema di Hodge) S. Rosenberg, "The Laplacian on a Riemannian Manifold: An Introduction to Analysis on Manifolds", London Mathematical Society Student Texts, Series Number 31, 1st Edition.
Altri riferimenti indicati di volta in volta dal docente.
- M.P. Do Carmo, "Riemannian Geometry", Math. Theory Appl. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, xiv+300 pp.
- I. Chavel, "Riemannian geometry—a modern introduction", Cambridge Tracts in Math., 108, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, xii+386 pp.
- M. Dajczer and R. Tojeiro, "Submanifold theory", Universitext, Springer, New York, 2019, xx+628 pp.
- (per una dimostrazione del teorema di Hodge) S. Rosenberg, "The Laplacian on a Riemannian Manifold: An Introduction to Analysis on Manifolds", London Mathematical Society Student Texts, Series Number 31, 1st Edition.
Altri riferimenti indicati di volta in volta dal docente.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame orale sugli argomenti del corso, la cui struttura verrà concordata con il docente.
Docente/i
Ricevimento:
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Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques"