Informazione e calcolo quantistico
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
L'insegnamento presenta le basi del paradigma quantistico e della sua applicazione nell'ambito del calcolo. Lo studente scoprirà le principali differenze tra paradigma di calcolo classico e quantistico, consolidando quanto appreso sia nell'opportuno framework matematico, sia nello sviluppo di software quantistico.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente sarà in grado di comprendere i presupposti del paradigma quantistico e le motivazioni per la sua applicazione in diversi ambiti dell'informatica. Acquisirà la capacità di risolvere problemi elementari di meccanica quantistica di interesse ingegneristico (comunicazione e computazione quantistica). Apprenderà i principi di funzionamento di alcuni algoritmi paradigmatici per la distribuzione quantistica delle chiavi e di alcuni algoritmi di maggiore rilievo per il calcolo quantistico.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Introduzione
· Presupposti storici del calcolo quantistico, tappe principali
- meccanica quantistica
- informatica
- teoria dell'informazione
Qbit
· Dal calcolo classico al calcolo quantistico
- bit classici e circuiti classici
- qbit come sovrapposizione di stati base, definizione matematica
- osservazione di un qbit, estrazione probabilistica dell'informazione
- rappresentazione di un qbit mediante sfera di Bloch
· Cenni alle realizzazioni fisiche di qbit, esperimento della doppia fenditura
Qregister e circuiti quantistici
· Registri quantistici
- definizione matematica, osservazione
- stati entangled (di Bell, EPR)
· Circuiti quantistici, parte I
- porte logiche quantistiche, definizione matematica e interpretazione geometrica
- porte logiche quantistiche su singolo qbit: matrici di Pauli, H (Hadamard)
- porte logiche quantistiche su più qbit: controlled-NOT
- generazione di stati entangled
- circuito di SWAP
- gate di osservazione
- progetto e analisi di circuiti quantistici
Presupposti matematici per il calcolo quantistico
· Numeri complessi
- forma cartesiana, polare, trigonometrica
- coniugato, modulo, operazioni
- rappresentazione esponenziale e identità di Eulero
· Spazi vettoriali
- basi ortonormali e sottospazi
- prodotto interno e spazi di Hilbert
- notazione di Dirac, bra, ket, prodotto esterno
· Operatori lineari e matrici
- autovalori, autovettori, autospazi
- matrici normali, Hermitiane, unitarie
- teorema spettrale per le matrici normali
· Prodotto tensore di spazi e matrici (Kronecker)
Meccanica quantistica
· Postulati
- postulato 1: spazio degli stati come spazio di Hilbert
- postulato 2: dinamica come operatore unitario, equazione di Schrödinger
- postulato 3: osservabili come matrici Hermitiane, collasso
- postulato 4: composizione di sistemi come prodotto tensore
· Applicazione dei postulati nella descrizione dei circuiti quantistici
Circuiti quantistici, parte II
· No-cloning theorem
· Utilizzo dell'entanglement
- teletrasporto quantistico
- codifica superdensa
Introduzione agli algoritmi quantistici
· Calcolo reversibile
- porta di Toffoli
- realizzazione di NAND mediante Toffoli
· Parallelismo quantistico
- algoritmo di Deutsch
- algoritmo di Deutsch-Josza
Algoritmi quantistici di ricerca
· Algoritmo di Grover
- oracolo e operatore di diffusione
- interpretazione geometrica
- analisi della complessità temporale
- esempio concreto
Trasformata di Fourier quantistica (QFT) e applicazioni
· Stima dell'autovalore di una matrice unitaria
· Calcolo dell'ordine di un numero
- matrice modulare
- ket 1 come autovettore
- frazioni continue e ordine di un numero dai convergenti
· Fattorizzazione: algoritmo di Shor
- algoritmo di Euclide e fattori
- fattori non banali da congruenze quadratiche
- stima della confidenza
- analisi della complessità temporale
· Presupposti storici del calcolo quantistico, tappe principali
- meccanica quantistica
- informatica
- teoria dell'informazione
Qbit
· Dal calcolo classico al calcolo quantistico
- bit classici e circuiti classici
- qbit come sovrapposizione di stati base, definizione matematica
- osservazione di un qbit, estrazione probabilistica dell'informazione
- rappresentazione di un qbit mediante sfera di Bloch
· Cenni alle realizzazioni fisiche di qbit, esperimento della doppia fenditura
Qregister e circuiti quantistici
· Registri quantistici
- definizione matematica, osservazione
- stati entangled (di Bell, EPR)
· Circuiti quantistici, parte I
- porte logiche quantistiche, definizione matematica e interpretazione geometrica
- porte logiche quantistiche su singolo qbit: matrici di Pauli, H (Hadamard)
- porte logiche quantistiche su più qbit: controlled-NOT
- generazione di stati entangled
- circuito di SWAP
- gate di osservazione
- progetto e analisi di circuiti quantistici
Presupposti matematici per il calcolo quantistico
· Numeri complessi
- forma cartesiana, polare, trigonometrica
- coniugato, modulo, operazioni
- rappresentazione esponenziale e identità di Eulero
· Spazi vettoriali
- basi ortonormali e sottospazi
- prodotto interno e spazi di Hilbert
- notazione di Dirac, bra, ket, prodotto esterno
· Operatori lineari e matrici
- autovalori, autovettori, autospazi
- matrici normali, Hermitiane, unitarie
- teorema spettrale per le matrici normali
· Prodotto tensore di spazi e matrici (Kronecker)
Meccanica quantistica
· Postulati
- postulato 1: spazio degli stati come spazio di Hilbert
- postulato 2: dinamica come operatore unitario, equazione di Schrödinger
- postulato 3: osservabili come matrici Hermitiane, collasso
- postulato 4: composizione di sistemi come prodotto tensore
· Applicazione dei postulati nella descrizione dei circuiti quantistici
Circuiti quantistici, parte II
· No-cloning theorem
· Utilizzo dell'entanglement
- teletrasporto quantistico
- codifica superdensa
Introduzione agli algoritmi quantistici
· Calcolo reversibile
- porta di Toffoli
- realizzazione di NAND mediante Toffoli
· Parallelismo quantistico
- algoritmo di Deutsch
- algoritmo di Deutsch-Josza
Algoritmi quantistici di ricerca
· Algoritmo di Grover
- oracolo e operatore di diffusione
- interpretazione geometrica
- analisi della complessità temporale
- esempio concreto
Trasformata di Fourier quantistica (QFT) e applicazioni
· Stima dell'autovalore di una matrice unitaria
· Calcolo dell'ordine di un numero
- matrice modulare
- ket 1 come autovettore
- frazioni continue e ordine di un numero dai convergenti
· Fattorizzazione: algoritmo di Shor
- algoritmo di Euclide e fattori
- fattori non banali da congruenze quadratiche
- stima della confidenza
- analisi della complessità temporale
Prerequisiti
Maturità matematica e algoritmica tipicamente acquisita nel primo biennio. Utile una conoscenza di argomenti elementari di algebra lineare e probabilità.
Metodi didattici
L'insegnamento è costituito essenzialmente da lezioni frontali che hanno lo scopo di introdurre al calcolo quantistico sia da un punto di vista teorico che pratico. Verranno infatti dapprima proposti i fondamenti della quantum computing ambientandoli nell'opportuno background matematico. Successivamente, verranno proposti seminari di approfondimento su tematiche più applicative. Il connubio di questi due punti di vista teorico/pratico consoliderà le conoscenze del paradigma quantistico.
Materiale di riferimento
Dispense e altro materiale: disponibile al sito del corso
· Lucidi e dispense dell'insegnamento.
Testi: entrambi consultabili online dalla biblioteca UniMi
· M.A. Nielsen, I.L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010.
· S. Olivares. A Student's Guide to Quantum Computing. Springer, 2025.
Siti web
· sito dell'insegnamento sulla piattaforma di ateneo myAriel
· Qibo, un middleware per il progetto di software quantistico: https://qibo.science
· Lucidi e dispense dell'insegnamento.
Testi: entrambi consultabili online dalla biblioteca UniMi
· M.A. Nielsen, I.L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010.
· S. Olivares. A Student's Guide to Quantum Computing. Springer, 2025.
Siti web
· sito dell'insegnamento sulla piattaforma di ateneo myAriel
· Qibo, un middleware per il progetto di software quantistico: https://qibo.science
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
La forma dell'esame potrà essere scelta dallo studente e consisterà di una prova scritta oppure orale; nel caso di uno scritto, la durata della prova sarà di due ore. A prescindere dalla forma, la prova d'esame sarà volta ad indagare la conoscenza delle basi teoriche e informatiche del calcolo quantistico. Il voto finale è espresso in trentesimi. Una valutazione tra 18 e 23 indica un'adeguata conoscenza dei concetti che stanno alla base del calcolo quantistico. Una valutazione tra 24 e 27 indica una buona conoscenza di tali concetti. Valutazioni superiori indicano ottima conoscenza e una certa dose di originalità nell'applicare le basi del calcolo quantistico.
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
su appuntamento via mail
Ufficio S 6008, VI piano, Dip. Informatica "Giovanni Degli Antoni", via Celoria 18, 20133 Milano, Italy