Laboratorio di probabilità
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è di far impadronire lo studente degli strumenti fondamentali per lo studio di modelli probabilistici legati in modo particolare ai processi di conteggio di successi in tempi discreti e continui, e della simulazione di esperimenti aleatori. Vengono presentate semplici applicazioni attraverso lo studio di una classe specifica di processi stocastici: le catene di Markov a tempo discreto. Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di variabili aleatorie e di processi stocastici fondamentali. Il laboratorio sarà svolto con l'ausilio di software matematici, in particolare Matlab e/o R.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente dovrà essere in grado di riconoscere i principali modelli probabilistici alla base dei processi di conteggio, saperli simulare e riconoscere attraverso lo studio delle simulazioni le loro principali proprietà. Dovrà saper trattare semplici processi stocastici. Ci si aspetta una presa di coscienza di come dalle proprietà teoriche matematiche si possano costruire semplici algoritmi di simulazione, attraverso l'uso del software (in particolare Matlab e/o R)
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Giudizio di approvazione
Giudizio di valutazione: superato/non superato
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Il laboratorio del dado:
1.1. campionare
1.2. Stimare la funzione di probabilità (la Legge dei grandi numeri).
2. Le variabili aleatorie come modelli probabilistici: le misure di conteggio (dal campione alle proprietà teoriche)
2.1 Prove ripetute ed indipendenti - Schema di Bernoulli
2.2. le prove di primo successo
3. Introduzione ai processi stocastici
3.1 il processo di Bernoulli e quello binomiale
3.1.1. dal campione di traiettorie alla distribuzione delle frequenze della prova del primo successo (la geometrica e la geometrica traslata)
3.1.2. Stimare i tempi di interarrivo e le proprietà delle distribuzioni
3.2. Il processo di Poisson
3.2.1. le sue caratterizzazioni
3.2.2. il tempo del primo successo
4. La passeggiata aleatoria
4.1. Dal processo binomiale alla passeggiata aleatoria semplice
4.2. stimare la distribuzione del tempo del primo ritorno e del numero di ritorni
4.4. Riscalare una passeggiata aleatoria semplice e definizione dei processi limiti
5. Le catene di Markov
5.1. le proprietà attraverso i campioni
6. Applicazioni: dalla biomatematica alle reazioni chimiche. Quantificare l'incertezza
1.1. campionare
1.2. Stimare la funzione di probabilità (la Legge dei grandi numeri).
2. Le variabili aleatorie come modelli probabilistici: le misure di conteggio (dal campione alle proprietà teoriche)
2.1 Prove ripetute ed indipendenti - Schema di Bernoulli
2.2. le prove di primo successo
3. Introduzione ai processi stocastici
3.1 il processo di Bernoulli e quello binomiale
3.1.1. dal campione di traiettorie alla distribuzione delle frequenze della prova del primo successo (la geometrica e la geometrica traslata)
3.1.2. Stimare i tempi di interarrivo e le proprietà delle distribuzioni
3.2. Il processo di Poisson
3.2.1. le sue caratterizzazioni
3.2.2. il tempo del primo successo
4. La passeggiata aleatoria
4.1. Dal processo binomiale alla passeggiata aleatoria semplice
4.2. stimare la distribuzione del tempo del primo ritorno e del numero di ritorni
4.4. Riscalare una passeggiata aleatoria semplice e definizione dei processi limiti
5. Le catene di Markov
5.1. le proprietà attraverso i campioni
6. Applicazioni: dalla biomatematica alle reazioni chimiche. Quantificare l'incertezza
Prerequisiti
Un corso introduttivo di Probabilità
Metodi didattici
Laboratorio informatico e lezioni frontali interattive
Materiale di riferimento
V. Capasso, D. Morale, Una Guida allo studio della Probabilità e della Statistica Matematica, Esculapio editore
J.R. Norris - Markov Chain - Cambridge series on statistical and probabilistic mathematics, 1998
Il corso è molto interattivo: gli studenti prepareranno le proprie note attraverso gli homework
J.R. Norris - Markov Chain - Cambridge series on statistical and probabilistic mathematics, 1998
Il corso è molto interattivo: gli studenti prepareranno le proprie note attraverso gli homework
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste nella consegna di un insieme di homeworks che saranno assegnati dai docenti durante il corso, consistenti nella risoluzioni di problemi che coinvolgono processi stocastici e loro proprietà. Per svolgere gli homeworks occorre frequentare il corso in tempo reale, pertanto la frequenza è vivamente consigliata.
Gli studenti non frequentanti dovranno sostenere un esame orale sull'intero programma del corso ed degli homework assegnati ad hoc.
Si valuterà la capacità dello studente di analizzare e fare deduzioni dai campioni simulati e dedurre proprietà teoriche. La valutazione sarà in approvato / non approvato.
Gli studenti non frequentanti dovranno sostenere un esame orale sull'intero programma del corso ed degli homework assegnati ad hoc.
Si valuterà la capacità dello studente di analizzare e fare deduzioni dai campioni simulati e dedurre proprietà teoriche. La valutazione sarà in approvato / non approvato.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 3
Laboratori: 36 ore
Docenti:
Morale Daniela, Ugolini Stefania
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento tramite mail
Studio del docente o su piattaforma virtuale