Matematica i

1. I numeri
a. Numeri naturali, interi, razionali, reali
b. Proprietà dei numeri reali. Assioma di completezza di R
c. Rappresentazione decimale dei numeri reali.
d. Insiemi di numeri reali limitati e illimitati. Estremo superiore, estremo inferiore di un insieme. Massimo e minimo. Il simbolo "infinito". Intervalli limitati e non limitati.
e. Radice n-esima di un numero reale non negativo. Valore assoluto di un numero reale.
________________________________________
2. Introduzione alle funzioni reali di variabile reale
a. Dominio, immagine, grafico, segno e zeri di una funzione.
b. Grafico delle funzioni elementari. Polinomi di primo e secondo grado, valore assoluto di x, radice quadrata di x, funzione segno di x e parte intera di x. Funzioni potenza ad esponente naturale, intero, razionale, reale. Funzioni trigonometriche.
c. Funzioni iniettive. Funzione inversa. Funzioni monotone. Relazione tra funzioni monotone e funzioni iniettive. Funzioni concave e convesse.
d. Funzioni superiormente e inferiormente limitate. Sup, Inf, Massimo e minimo assoluto di una funzione su un insieme.
e. Operazioni elementari con le funzioni. Composizione di funzioni. Traslazioni, simmetrie. Funzioni pari, funzioni dispari. Grafico delle funzioni elementari composte con traslazioni e simmetrie.
________________________________________
3. Successioni
a. Intorno di un numero reale. Intorno destro e intorno sinistro. Intorno di +/- infinito. Punto isolato, punto di accumulazione.
b. Successioni numeriche limitate e illimitate. Successioni monotone. Successioni convergenti e divergenti. Successioni regolari e indeterminate. Successioni infinitesime.
c. Teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite di successioni convergenti (*), successioni convergenti sono limitate (*), successioni monotone sono regolari (*), permanenza del segno (*), teorema del confronto (*), prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima.
d. Operazioni con i limiti di successioni e forme di indecisione. Numero di Nepero. Limiti di successioni: criterio del rapporto, criterio della radice n-esima.
e. Funzioni esponenziale e logaritmo. Confronto tra successioni infinite: fattoriali, potenze, esponenziali, logaritmi. Simbolo di Landau asintotico.
________________________________________
4. Limiti di funzioni
a. Limite destro/sinistro, per eccesso/difetto. Asintoti orizzontali/verticali. Relazione tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti di funzioni composte.
b. Simbolo di Landau asintotico per le funzioni. Limiti notevoli e sviluppi al primo ordine con o-piccolo. Asintoti obliqui.
c. Continuità delle funzioni elementari. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema di Bolzano (teorema degli zeri). Teorema di Darboux o dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
________________________________________
5. Calcolo differenziale
a. Funzioni derivabili in un punto. Significato geometrico della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione in un punto di derivabilità (*). Relazione tra derivabilità e continuità (*). Derivate delle funzioni elementari.
b. Funzioni non derivabili in un punto: esempi di punti a tangente verticale, punti angolosi, punti di cuspide.
c. Regole di derivazione (somma, differenza, prodotto, rapporto). Derivata della funzione composta. Derivabilità della funzione inversa e sua derivata.
d. Condizione sufficiente di derivabilità in un punto: continuità + uguaglianza limiti (finiti) destro e sinistro della funzione derivata.
e. Punti di massimo e minimo relativi.
f. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange (*).
g. Conseguenze del Teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti (*); funzioni con derivate coincidenti su un intervallo differiscono per una costante additiva (*); relazioni tra monotonia e segno della derivata su un intervallo (*).
h. Teorema di Cauchy.
i. Derivate successive. Relazione tra concavità/convessità e segno della derivata seconda. Studio del grafico di una funzione.
j. Teorema di de l'Hopital.
k. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.
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6. Calcolo integrale
a. Integrale indefinito. Primitiva di una funzione. Alcune primitive elementari.
b. Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali definiti e aree. Proprietà dell'integrale definito. Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
c. Teorema della media integrale (*). Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Formula fondamentale del calcolo integrale (*).
d. Integrali impropri su intervalli limitati e non chiusi e su intervalli chiusi e non limitati. Criteri di integrabilità in senso improprio per funzioni non negative: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Convergenza assoluta degli integrali impropri.
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7. Serie numeriche
a. Serie geometrica. Serie armonica. Serie armonica generalizzata.
b. Serie a termini positivi, criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice n-esima, criterio del rapporto.
c. Serie a termini di segno qualunque. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per la convergenza di serie a segni alterni. Criterio di convergenza assoluta.
d. Serie numeriche e integrali impropri.
e. Serie di potenze. Raggio di convergenza e criteri di determinazione. Serie derivata di una serie di potenze. Serie di potenze con raggio non nullo e derivabilità di qualunque ordine della funzione somma. Derivabilità e integrabilità termine a termine di una serie di potenze con raggio non nullo.
f. Cenni alle funzioni analitiche o sviluppabili in serie di Taylor. Criterio sufficiente per poter sviluppare in serie di Taylor. Esempi di funzioni analitiche. Confronto tra formula e serie di Taylor.
g. Cenni alle Serie di Fourier.

1. I numeri
a. Numeri naturali, interi, razionali, reali
b. Proprietà dei numeri reali. Assioma di completezza di R
c. Rappresentazione decimale dei numeri reali.
d. Insiemi di numeri reali limitati e illimitati. Estremo superiore, estremo inferiore di un insieme. Massimo e minimo. Il simbolo "infinito". Intervalli limitati e non limitati.
e. Radice n-esima di un numero reale non negativo. Valore assoluto di un numero reale.

2. Introduzione alle funzioni reali di variabile reale
a. Dominio, immagine, grafico, segno e zeri di una funzione.
b. Grafico delle funzioni elementari. Polinomi di primo e secondo grado, valore assoluto di x, radice quadrata di x, funzione segno di x e parte intera di x. Funzioni potenza ad esponente naturale, intero, razionale, reale. Funzioni trigonometriche.
c. Funzioni iniettive. Funzione inversa. Funzioni monotone. Relazione tra funzioni monotone e funzioni iniettive. Funzioni concave e convesse.
d. Funzioni superiormente e inferiormente limitate. Sup, Inf, Massimo e minimo assoluto di una funzione su un insieme.
e. Operazioni elementari con le funzioni. Composizione di funzioni. Traslazioni, simmetrie. Funzioni pari, funzioni dispari. Grafico delle funzioni elementari composte con traslazioni e simmetrie.

3. Successioni
a. Intorno di un numero reale. Intorno destro e intorno sinistro. Intorno di +/- infinito. Punto isolato, punto di accumulazione.
b. Successioni numeriche limitate e illimitate. Successioni monotone. Successioni convergenti e divergenti. Successioni regolari e indeterminate. Successioni infinitesime.
c. Teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite di successioni convergenti (*), successioni convergenti sono limitate (*), successioni monotone sono regolari (*), permanenza del segno (*), teorema del confronto (*), prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima.
d. Operazioni con i limiti di successioni e forme di indecisione. Numero di Nepero. Limiti di successioni: criterio del rapporto, criterio della radice n-esima.
e. Funzioni esponenziale e logaritmo. Confronto tra successioni infinite: fattoriali, potenze, esponenziali, logaritmi. Simbolo di Landau asintotico.

4. Limiti di funzioni
a. Limite destro/sinistro, per eccesso/difetto. Asintoti orizzontali/verticali. Relazione tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti di funzioni composte.
b. Simbolo di Landau asintotico per le funzioni. Limiti notevoli e sviluppi al primo ordine con o-piccolo. Asintoti obliqui.
c. Continuità delle funzioni elementari. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema di Bolzano (teorema degli zeri). Teorema di Darboux o dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.

5. Calcolo differenziale
a. Funzioni derivabili in un punto. Significato geometrico della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione in un punto di derivabilità (*). Relazione tra derivabilità e continuità (*). Derivate delle funzioni elementari.
b. Funzioni non derivabili in un punto: esempi di punti a tangente verticale, punti angolosi, punti di cuspide.
c. Regole di derivazione (somma, differenza, prodotto, rapporto). Derivata della funzione composta. Derivabilità della funzione inversa e sua derivata.
d. Condizione sufficiente di derivabilità in un punto: continuità + uguaglianza limiti (finiti) destro e sinistro della funzione derivata.
e. Punti di massimo e minimo relativi.
f. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange (*).
g. Conseguenze del Teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti (*); funzioni con derivate coincidenti su un intervallo differiscono per una costante additiva (*); relazioni tra monotonia e segno della derivata su un intervallo (*).
h. Teorema di Cauchy.
i. Derivate successive. Relazione tra concavità/convessità e segno della derivata seconda. Studio del grafico di una funzione.
j. Teorema di de l'Hopital.
k. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.

6. Calcolo integrale
a. Integrale indefinito. Primitiva di una funzione. Alcune primitive elementari.
b. Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali definiti e aree. Proprietà dell'integrale definito. Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
c. Teorema della media integrale (*). Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Formula fondamentale del calcolo integrale (*).
d. Integrali impropri su intervalli limitati e non chiusi e su intervalli chiusi e non limitati. Criteri di integrabilità in senso improprio per funzioni non negative: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Convergenza assoluta degli integrali impropri.

7. Serie numeriche
a. Serie geometrica. Serie armonica. Serie armonica generalizzata.
b. Serie a termini positivi, criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice n-esima, criterio del rapporto.
c. Serie a termini di segno qualunque. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per la convergenza di serie a segni alterni. Criterio di convergenza assoluta.
d. Serie numeriche e integrali impropri.
e. Serie di potenze. Raggio di convergenza e criteri di determinazione. Serie derivata di una serie di potenze. Serie di potenze con raggio non nullo e derivabilità di qualunque ordine della funzione somma. Derivabilità e integrabilità termine a termine di una serie di potenze con raggio non nullo.
f. Cenni alle funzioni analitiche o sviluppabili in serie di Taylor. Criterio sufficiente per poter sviluppare in serie di Taylor. Esempi di funzioni analitiche. Confronto tra formula e serie di Taylor.
g. Cenni alle Serie di Fourier.