Matematica i
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
Gli obiettivi principali dell'insegnamento consistono nell'introduzione del linguaggio e delle nozioni iniziali della matematica discreta e dell'algebra. Più in dettaglio, sarà affrontata la teoria elementare degli insiemi, delle relazioni e delle funzioni. Si accennerà alla nozione di struttura algebrica astratta con gli esempi dei monoidi, dei gruppi e degli anelli. Saranno discusse le proprietà di base dell'anello dei numeri interi e dei campi dei numeri razionali, reali e complessi, con particolare attenzione alla risoluzione delle congruenze lineari e ai loro aspetti algoritmici. Saranno introdotti gli spazi vettoriali, assieme alle applicazioni lineari e alla loro rappresentazione matriciale. La teoria sarà infine applicata alla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, evidenziandone anche in questo caso gli aspetti algoritmici.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso, studentesse e studenti dovranno essere in grado di comprendere il formalismo matematico di base degli insiemi, delle relazioni e delle funzioni. Avranno acquisito un primo grado di familiarità con il concetto di struttura algebrica astratta. Avranno compreso le proprietà fondamentali dell'anello dei numeri interi e del campo dei numeri razionali, reali e complessi. Sapranno riconoscere e maneggiare gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari. Infine, saranno in grado di effettuare operazioni con le matrici, associarle ai sistemi lineari ed utilizzarle per discuterne la risolubiltà.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Parte 1. Matematica discreta.
Combinatoria (cenni). Relazioni d'equivalenza e relazioni d'ordine; esempi e applicazioni. Algoritmo per il calcolo della chiusura transitiva di una relazione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Nucleo di una funzione. Permutazioni. Segno di una permutazione e fattorizzazione in cicli. Gruppi (cenni). Numeri interi e divisibilità. Algoritmo euclideo. Numeri primi e fattorizzazione. Equazioni diofantee (cenni). Aritmetica modulare (cenni). Polinomi e divisibilità. Divisione fra polinomi. Polinomi irriducibili e fattorizzazione. Anelli (cenni).
Parte 2. Algebra lineare.
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan). Matrici e loro algebra. Spazi vettoriali e sottospazi (cenni). Basi. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice; matrici e applicazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Autovalori ed autospazi. (Per ciascun argomento, esempi ed esercizi.)
Combinatoria (cenni). Relazioni d'equivalenza e relazioni d'ordine; esempi e applicazioni. Algoritmo per il calcolo della chiusura transitiva di una relazione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Nucleo di una funzione. Permutazioni. Segno di una permutazione e fattorizzazione in cicli. Gruppi (cenni). Numeri interi e divisibilità. Algoritmo euclideo. Numeri primi e fattorizzazione. Equazioni diofantee (cenni). Aritmetica modulare (cenni). Polinomi e divisibilità. Divisione fra polinomi. Polinomi irriducibili e fattorizzazione. Anelli (cenni).
Parte 2. Algebra lineare.
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan). Matrici e loro algebra. Spazi vettoriali e sottospazi (cenni). Basi. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice; matrici e applicazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Autovalori ed autospazi. (Per ciascun argomento, esempi ed esercizi.)
Prerequisiti
Conoscenze di matematica a livello di scuola secondaria.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
Per la seconda parte del insegnamento, alcuni libri utili sono:
R. Fioresi, M. Morigi, Introduction to Linear Algebra, CEA, 2019.
M. Bianchi e A. Gillio, Introduzione alla matematica discreta, McGraw-Hill, 2005.
Per la seconda parte del insegnamento il testo di riferimento è:
G. Piacentini Cattaneo, Matematica discreta e applicazioni, Zanichelli, 2008.
R. Fioresi, M. Morigi, Introduction to Linear Algebra, CEA, 2019.
M. Bianchi e A. Gillio, Introduzione alla matematica discreta, McGraw-Hill, 2005.
Per la seconda parte del insegnamento il testo di riferimento è:
G. Piacentini Cattaneo, Matematica discreta e applicazioni, Zanichelli, 2008.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta, nella quale verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del insegnamento. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati e delle domande, e di norma è di due ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova del primo appello. Gli esiti delle prove d'esame e delle prove intermedie, espressi con un voto in trentesimi, verranno comunicati sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 4
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 5
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 5
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 48 ore
Lezioni: 48 ore
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques", via Cesare Saldini 50, studio 2048
Ricevimento:
Su appuntamento via email
Dipartimento di Matematica "F. Enriques" - Ufficio 2100
Ricevimento:
su appuntamento per email ([email protected])