Matematica ii
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
Gli obiettivi principali dell'insegnamento consistono nell'introduzione del linguaggio e delle nozioni iniziali della matematica discreta e dell'algebra. Più in dettaglio, sarà affrontata la teoria elementare degli insiemi, delle relazioni e delle funzioni. Si accennerà alla nozione di struttura algebrica astratta con gli esempi dei monoidi, dei gruppi e degli anelli. Saranno discusse le proprietà di base dell'anello dei numeri interi e dei campi dei numeri razionali, reali e complessi, con particolare attenzione alla risoluzione delle congruenze lineari e ai loro aspetti algoritmici. Saranno introdotti gli spazi vettoriali, assieme alle applicazioni lineari e alla loro rappresentazione matriciale. La teoria sarà infine applicata alla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, evidenziandone anche in questo caso gli aspetti algoritmici.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso, studentesse e studenti dovranno essere in grado di comprendere il formalismo matematico di base degli insiemi, delle relazioni e delle funzioni. Avranno acquisito un primo grado di familiarità con il concetto di struttura algebrica astratta. Avranno compreso le proprietà fondamentali dell'anello dei numeri interi e del campo dei numeri razionali, reali e complessi. Sapranno riconoscere e maneggiare gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari. Infine, saranno in grado di effettuare operazioni con le matrici, associarle ai sistemi lineari ed utilizzarle per discuterne la risolubiltà.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione 1
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1) Strumenti algebrici e algoritmi di base
Numeri interi: principio di induzione; divisione tra interi e algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore; numeri primi e fattorizzazione in primi; numerazione in base n.
Polinomi a coefficienti reali e operazioni tra polinomi; radici e loro molteplicità; polinomi irriducibili; fattorizzazione.
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan).
Matrici e operazioni tra matrici.
2) Nozioni di algebra astratta
Insiemi. Relazioni tra insiemi e loro composizione: relazioni di equivalenza, di ordine;applicazioni. Relazioni di congruenza. Aritmetica modulare. Operazioni tra insiemi. Strutture algebriche, loro sottostrutture e omomorfismi: gruppi, anelli (in particolare campi e anelli di polinomi).
3) Algebra lineare
Spazi vettoriali. Basi. Applicazioni lineari e matrici; rango di una matrice. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Inversa di una matrice quadrata: esistenza e calcolo. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.
Autovalori e autovettori, diagonalizzabilità.
Numeri interi: principio di induzione; divisione tra interi e algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore; numeri primi e fattorizzazione in primi; numerazione in base n.
Polinomi a coefficienti reali e operazioni tra polinomi; radici e loro molteplicità; polinomi irriducibili; fattorizzazione.
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan).
Matrici e operazioni tra matrici.
2) Nozioni di algebra astratta
Insiemi. Relazioni tra insiemi e loro composizione: relazioni di equivalenza, di ordine;applicazioni. Relazioni di congruenza. Aritmetica modulare. Operazioni tra insiemi. Strutture algebriche, loro sottostrutture e omomorfismi: gruppi, anelli (in particolare campi e anelli di polinomi).
3) Algebra lineare
Spazi vettoriali. Basi. Applicazioni lineari e matrici; rango di una matrice. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Inversa di una matrice quadrata: esistenza e calcolo. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.
Autovalori e autovettori, diagonalizzabilità.
Prerequisiti
Competenze di matematica di base, come risoluzioni di equazioni e algebra dei polinomi
Metodi didattici
Lezioni frontali di teoria ed esercitazioni in aula.
Tutoraggio.
La frequenza alle lezioni di teoria ed esercitazioni è fortemente consigliata
Tutoraggio.
La frequenza alle lezioni di teoria ed esercitazioni è fortemente consigliata
Materiale di riferimento
Libri di consultazione: Delizia, Longobardi, Man, Nicotera - Matematica discreta - McGraw Hill - (2009).
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame finale consiste in una prova scritta.
Nella prova scritta verranno assegnati esercizi atti a verificare la capacità di risolvere problemi matematici inerenti il programma svolto nel corso, assieme a quesiti a risposta multipla o in modalità vero/falso, ed a quesiti a risposta aperta che richiederanno di illustrare le dimostrazioni di risultati enunciati durante il corso. Gli insegnanti indicheranno chiaramente nel corso delle lezioni quali tra le dimostrazioni presentate faranno parte del programma d'esame.
La durata di ogni prova scritta è commensurata al numero, alla struttura, ed alla difficoltà degli esercizi e quesiti assegnati, ma indicativamente sarà di due ore e mezza. Durante il semestre di insegnamento del corso, sarà anche prevista una prova in itinere, della durata di due ore, che, se superata, darà facoltà di affrontare meno esercizi nelle prove scritte dei primi due appelli disponibili. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA. Il voto finale dell'esame sarà espresso in trentesimi.
Nella prova scritta verranno assegnati esercizi atti a verificare la capacità di risolvere problemi matematici inerenti il programma svolto nel corso, assieme a quesiti a risposta multipla o in modalità vero/falso, ed a quesiti a risposta aperta che richiederanno di illustrare le dimostrazioni di risultati enunciati durante il corso. Gli insegnanti indicheranno chiaramente nel corso delle lezioni quali tra le dimostrazioni presentate faranno parte del programma d'esame.
La durata di ogni prova scritta è commensurata al numero, alla struttura, ed alla difficoltà degli esercizi e quesiti assegnati, ma indicativamente sarà di due ore e mezza. Durante il semestre di insegnamento del corso, sarà anche prevista una prova in itinere, della durata di due ore, che, se superata, darà facoltà di affrontare meno esercizi nelle prove scritte dei primi due appelli disponibili. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA. Il voto finale dell'esame sarà espresso in trentesimi.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 5
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 4
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 4
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 48 ore
Lezioni: 48 ore
Docenti:
Barbieri Viale Luca, Oestvaer Paul Arne
Edizione 2
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 5
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 4
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 4
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 48 ore
Lezioni: 48 ore
Docente/i
Ricevimento:
Contattare per email (normalmente il Martedì ore 14-16)
Ufficio - Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
per appuntamento da fissare via email
via Cesare Saldini 50, Milano - Dipartimento di Matematica - stanza 2060 (sottotetto)
Ricevimento:
Martedi 14.30-16.30
Diparimento di Matematica "Federigo Enriques" Stanza 1040
Ricevimento:
Giovedì 10:30-12:30
Studio 2103 (secondo piano) - Dipartimento di Matematica