Meccanica analitica 2
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende fornire una introduzione alla fenomenologia e alla teoria dei sistemi dinamici, con particolare riferimento alla
coesistenza di moti ordinati e moti caotici nei sistemi hamiltoniani. Si studieranno i più semplici metodi della teoria delle perturbazioni e
della teoria ergodica. Si intende anche fornire una connessione tra quest'ultima ed i fondamenti dinamici della meccanica quantistica.
L'insegnamento prevede anche un laboratorio per lo studio numerico di semplici modelli.
coesistenza di moti ordinati e moti caotici nei sistemi hamiltoniani. Si studieranno i più semplici metodi della teoria delle perturbazioni e
della teoria ergodica. Si intende anche fornire una connessione tra quest'ultima ed i fondamenti dinamici della meccanica quantistica.
L'insegnamento prevede anche un laboratorio per lo studio numerico di semplici modelli.
Risultati apprendimento attesi
Alla fine dell'insegnamento lo studente:
1) saprà cosa si intende per coesistenza di moti ordinati e moti caotici avendola osservata, con una esercitazione numerica in un
apposito laboratorio,
2) Avrà imparato le nozioni di punto fisso iperbolico, varietà stabile ed instabile, punto omoclino, orbita omoclinica.
3) Avrà costruito le varietà stabile e instabile relative al punto fisso principale dello standard map, e trovato l'orbita omoclina.
4) Conoscerà l'enunciato del teorema della varietà stabile.
5) Conoscerà il modello della traslazione del toro e avrà compreso la differenza tra il caso razionale e quello irrazionale, e conoscerà il
modello del gatto di Arnold.
6) Conoscerà le nozioni fondamentali riguardanti i sistemi ergodici, e saprà dimostrare la ergodicità della traslazione del toro nel caso
irrazionale, e le proprietà di mixing del gatto di Arnold.
7) Conoscerà le nozioni fondamentali relative alla teoria delle perturbazioni per sistemi hamiltoniani e l'enunciato del teorema KAM.
8) Conoscerà la dimostrazione del teorema della varieta' stabile
1) saprà cosa si intende per coesistenza di moti ordinati e moti caotici avendola osservata, con una esercitazione numerica in un
apposito laboratorio,
2) Avrà imparato le nozioni di punto fisso iperbolico, varietà stabile ed instabile, punto omoclino, orbita omoclinica.
3) Avrà costruito le varietà stabile e instabile relative al punto fisso principale dello standard map, e trovato l'orbita omoclina.
4) Conoscerà l'enunciato del teorema della varietà stabile.
5) Conoscerà il modello della traslazione del toro e avrà compreso la differenza tra il caso razionale e quello irrazionale, e conoscerà il
modello del gatto di Arnold.
6) Conoscerà le nozioni fondamentali riguardanti i sistemi ergodici, e saprà dimostrare la ergodicità della traslazione del toro nel caso
irrazionale, e le proprietà di mixing del gatto di Arnold.
7) Conoscerà le nozioni fondamentali relative alla teoria delle perturbazioni per sistemi hamiltoniani e l'enunciato del teorema KAM.
8) Conoscerà la dimostrazione del teorema della varieta' stabile
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Coesistenza di moti ordinati e moti caotici. Modello dello standard map, pendolo forzato, sistema di Henon-Hailes, il gatto di Arnold . Descrizione qualitativa, punti fissi e curve invarianti. Studio numerico al laboratorio. Ultimo teorema di Poincarè, Teorema della varieta' stabile ed intersezione omoclina. Sistemi uniformemte caotici.
2. Introduzione alla teoria delle perturbazioni. Il teorema della media. Sistemi completamente integrabili: coordinate azione-angolo. Il teorema di Liouville. Teorema della media per sistemi con più angoli veloci.
3. Introduzione alla teoria ergodica. Il teorema del ritorno di Poincarè. I teoremi ergodici di Birkhoff e Von Neuman. Sistemi mixing e l'approccio all'equilibrio. Il teorema di fluttuazione dissipazione per il calore specifico. Cenni di teoria delle grandi deviazioni.
2. Introduzione alla teoria delle perturbazioni. Il teorema della media. Sistemi completamente integrabili: coordinate azione-angolo. Il teorema di Liouville. Teorema della media per sistemi con più angoli veloci.
3. Introduzione alla teoria ergodica. Il teorema del ritorno di Poincarè. I teoremi ergodici di Birkhoff e Von Neuman. Sistemi mixing e l'approccio all'equilibrio. Il teorema di fluttuazione dissipazione per il calore specifico. Cenni di teoria delle grandi deviazioni.
Prerequisiti
Gli argomenti del corso di Meccanica Analitica, in particolare le nozioni elementari di Meccanica Hamiltoniana.
Metodi didattici
Lezioni frontali, ed una parte di laboratorio con esercitazioni al calcolatore.
Materiale di riferimento
V.I. Arnold, A. Avez "Ergodic Problems of Classical Mechanics".
Le dispense del corso sono disponibili sulla home page del docente e su Ariel.
Le dispense del corso sono disponibili sulla home page del docente e su Ariel.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una discussione orale che verte sugli argomenti del programma, volto prevalentemente ad accertare la comprensione degli argomenti tecnici affrontati.
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio - Dipartimento di Matematica - Via Saldini 50