Metodi matematici della fisica: geometria e gruppi 1
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
L'insegnamento si prefigge di fornire agli studenti competenze teoriche e, in certa misura, applicative (a livello di applicazione dei
metodi a problemi fisici) di geometria differenziale e teoria dei gruppi. Nella prima parte del corso, partendo dai principi dell'analisi
tensoriale e delle forme differenziali si arriva ad estendere le operazioni differenziali a varieta' differenziali e spazi curvi in modo da
ottenere formulazioni di leggi fisiche invarianti. Nella seconda parte, partendo dagli assiomi delle operazioni di gruppo si arriva a
sviluppare tutta la teoria delle rappresentazioni e dei caratteri per gruppi discreti e per gruppi continui
metodi a problemi fisici) di geometria differenziale e teoria dei gruppi. Nella prima parte del corso, partendo dai principi dell'analisi
tensoriale e delle forme differenziali si arriva ad estendere le operazioni differenziali a varieta' differenziali e spazi curvi in modo da
ottenere formulazioni di leggi fisiche invarianti. Nella seconda parte, partendo dagli assiomi delle operazioni di gruppo si arriva a
sviluppare tutta la teoria delle rappresentazioni e dei caratteri per gruppi discreti e per gruppi continui
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente avra' acquisito le seguenti abilita':
1) sapra' maneggiare oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
2) sapra' formulare leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
3) sapra' utilizzare il linguaggio e i metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici
4) sapra' formalizzare operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
5) sara' in grado di comprendere e utilizzare le proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazioni, sottogruppi, cosets)
6) sara' in grado di utilizzare gruppi discreti e la teoria della rappresentazione e dei caratteri degli stessi
7) sara' in grado di comprendere e utilizzare i teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di
ortonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
8) sara' in grado di comprendere e utilizzare gruppi continui come SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di
problemi fisici
9) sara' in grado di applicare la teoria dei gruppi a problemi di meccanica quantistica (analisi del momento angolare: coefficienti di
Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting) e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field
splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli
1) sapra' maneggiare oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
2) sapra' formulare leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
3) sapra' utilizzare il linguaggio e i metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici
4) sapra' formalizzare operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
5) sara' in grado di comprendere e utilizzare le proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazioni, sottogruppi, cosets)
6) sara' in grado di utilizzare gruppi discreti e la teoria della rappresentazione e dei caratteri degli stessi
7) sara' in grado di comprendere e utilizzare i teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di
ortonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
8) sara' in grado di comprendere e utilizzare gruppi continui come SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di
problemi fisici
9) sara' in grado di applicare la teoria dei gruppi a problemi di meccanica quantistica (analisi del momento angolare: coefficienti di
Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting) e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field
splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Al termine del corso lo studente avra' acquisito le seguenti abilita':
1) oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
2) leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
3) linguaggio e i metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici
4) operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
5) proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazioni, sottogruppi, cosets)
6) gruppi discreti e teoria della rappresentazione e dei caratteri degli stessi
7) teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di ortonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
8) teoria della rappresentazione dei gruppi continui come SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di problemi fisici
9) teoria dei gruppi applicata a problemi di meccanica quantistica (analisi del momento angolare: coefficienti di Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting) e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli)
1) oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
2) leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
3) linguaggio e i metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici
4) operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
5) proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazioni, sottogruppi, cosets)
6) gruppi discreti e teoria della rappresentazione e dei caratteri degli stessi
7) teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di ortonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
8) teoria della rappresentazione dei gruppi continui come SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di problemi fisici
9) teoria dei gruppi applicata a problemi di meccanica quantistica (analisi del momento angolare: coefficienti di Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting) e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli)
Prerequisiti
Corsi di analisi del biennio e corso di Metodi del secondo anno.
Metodi didattici
Alla lavagna.
Materiale di riferimento
Appunti del docente (sia in formato manoscritto che in formato pdf), disponibili su MyAriel.
Testi di riferimento per il corso:
- K. Cahill "Physical Mathematics", Cambridge University Press
- H. F. Jones "Groups, representations, and physics" Taylor & Francis
Il primo verra' usato soprattutto nella prima parte del corso (tensori e geometria differenziale) mentre il secondo nella seconda parte su gruppi.
Inoltre sporadicamente faro' riferimento ad altri due testi
- S. M. Carrol "Spacetime and geometry", Cambridge University Press
- A. Zee "Group theory in a nutshell", Princeton University Press
rispettivamente per la prima e la seconda parte del corso.
Inoltre, per rinfrescare la memoria su operazioni e concetti di base (ad es. sistemi di coordinate curvilinee e analisi vettoriale in coordinate curvilinee), consiglio vivamente di consultare il seguente testo
- K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence "Mathematical methods for physics and engineering", Cambridge University Press
Testi di riferimento per il corso:
- K. Cahill "Physical Mathematics", Cambridge University Press
- H. F. Jones "Groups, representations, and physics" Taylor & Francis
Il primo verra' usato soprattutto nella prima parte del corso (tensori e geometria differenziale) mentre il secondo nella seconda parte su gruppi.
Inoltre sporadicamente faro' riferimento ad altri due testi
- S. M. Carrol "Spacetime and geometry", Cambridge University Press
- A. Zee "Group theory in a nutshell", Princeton University Press
rispettivamente per la prima e la seconda parte del corso.
Inoltre, per rinfrescare la memoria su operazioni e concetti di base (ad es. sistemi di coordinate curvilinee e analisi vettoriale in coordinate curvilinee), consiglio vivamente di consultare il seguente testo
- K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence "Mathematical methods for physics and engineering", Cambridge University Press
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame orale o scritto a seconda del numero di studenti partecipanti al corso.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Zaccone Alessio
Docente/i