Sistemi hamiltoniani 1

Il corso si propone di trattare gli aspetti qualitativi della dinamica dei sistemi Hamiltoniani sia finito che infinito dimensionali. Si compone sostanzialmente di tre parti: (1) teoria classica e sistemi integabili, (2) teoria delle perturbazioni per sistemi finito dimensionali e piccoli divisori, (3) teoria delle perturbazioni per equazioni a derivate parziali Hamiltoniane.
Nella prima parte verranno presentati alcuni risultati classici nella seconda parte verranno introdotti i capisaldi della teoria teoria delle perturbazion dei sistemi finito dimensionali. Nella terza parte verranno presentate le estensioni alla teoria dei sistemi infinito dimensionali ed equazioni a derivate parziali di risultati della seconda parte. Tali risultati vanno dall'inizio degli anni 2000 fino ai nostri giorni.

Più in dettaglio.
1.1 Formulazione Hamiltoniana delle equazioni di un sistema Hamiltoniano, trasformazioni canoniche, relazione tra costanti del moto e simmetrie,
1.2 Teorema di Liouville-Arnold-Jost: uso delle costanti del moto per integrare le equazioni, dinamica di un sistema integrabile come flusso lineare su un toro, variabili angolo azione. Geometria dello spazio delle fasi.
1.3 Costruzione esplicita delle variabili angolo azione per alcuni sistemi significativi


2.1 Forma normale di Birkhoff, piccoli divisori, stabilità su tempi lunghi della dinamica in perturbazioni di sistemi non risonanti, comportamento di sistemi risonanti (battimenti non lineari).

2.2 Teoria delle perturbazioni per sistemi integrabili: densità delle risonanze, teorema di Poincaré di non esistenza delle costanti del moto, teorema di Nekhoroshev per la stabilità su tempi esponenziali (dimostrazione alla Lochak).
Cenni alla teoria KAM. Applicazioni ad alcuni problemi significativi tra cui la precessione del perielio di Mercurio.

3.1 Equazioni a derivate parziali Hamiltoniane: l'esempio dell'equazione delle onde nonlineare. Forma normale di Birkhoff per equazioni a derivate parziali: i piccoli divisori in dimensione infinita. Applicazione al problema della turbolenza debole e della crescita di norme di Sobolev in sistemi in una dimensione spaziale. Eventuale estensione a sistemi in più di una dimensione spaziale.

3.2 Sistemi Hamiltoniani dispersivi: effetti dissipativi introdotti dal fatto di trovarsi in domini infiniti. Decadimento locale nel tempo delle soluzioni di una catena infinita di particelle e in equazioni tipo Schroedinger non lineare. (Integrali oscillanti, metodo della fase stazionaria e lemma di Van der Corput e applicazioni.)

3.3 Fondamenti dinamici della meccanica statistica: metastabilità nel modello di Fermi Pasta Ulam e più in generale in sistemi composti da molte particelle