Statistical methods for finance
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
The main goal of this course is to give students the necessary statistical instruments required to deal with multivariate data in modern quantitative finance, focusing in particular on multivariate probability distributions and dependence measures.
The course will first introduce and review the general basic concepts related to multivariate random variables and then will analyze some multivariate models that have found wide application in quantitative finance (multivariate normal model and generalizations thereof). Then, the course will present copulas as a statistical tool for building flexible multivariate models and defining new dependence measures that can better fit and explain specific features present in financial data.
The course will first introduce and review the general basic concepts related to multivariate random variables and then will analyze some multivariate models that have found wide application in quantitative finance (multivariate normal model and generalizations thereof). Then, the course will present copulas as a statistical tool for building flexible multivariate models and defining new dependence measures that can better fit and explain specific features present in financial data.
Risultati apprendimento attesi
At the end of the course, the student should know the basic theory of multivariate random variables and the genesis and properties of some noteworthy families of probability distributions, such as the multivariate normal distribution, the multivariate normal variance mixtures, the spherical and elliptical distributions. The student should be also acquainted with the concept of copula and its use in the construction of multivariate distribution, and with copula-based dependence measures which overtake the shortcomings of Pearson's correlation coefficient.
The students is expected to be able to apply this theoretical knowledge by evaluating the applicability of different models from a scientific perspective and choosing the most appropriate distribution for modeling multivariate data in the financial field.
The students is expected to be able to apply this theoretical knowledge by evaluating the applicability of different models from a scientific perspective and choosing the most appropriate distribution for modeling multivariate data in the financial field.
Periodo: Primo trimestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo trimestre
Programma
1. Ripasso dei concetti di base per variabili aleatorie univariate e bivariate
Nozioni di base sulle variabili aleatorie univariate; panoramica delle distribuzioni di probabilità più comuni: Bernoulli, Binomiale, Normale, Esponenziale, Beta, Gamma.
Asimmetria e curtosi: distribuzioni leptocurtiche, mesocurtiche e platicurtiche.
Funzione inversa generalizzata e funzione quantile.
Trasformazione di variabili aleatorie: metodi per determinare la pdf/cdf di una funzione di una variabile aleatoria (caso univariato).
Il caso di funzioni monotone; il caso Y = X^2.
Distribuzioni bivariate, caso continuo: funzione di densità bivariata, funzione di ripartizione bivariata, funzioni di densità marginali e funzioni di ripartizione marginali.
Funzione caratteristica: definizione e proprietà principali. Funzione caratteristica per la variabile normale e per la somma di variabili normali indipendenti. Teoremi d'inversione.
Proprietà della pdf e della funzione caratteristica per distribuzioni simmetriche.
Proprietà e distribuzione asintotica dell'ecdf (funzione di ripartizione empirica). Test di Kolmogorov-Smirnov.
(Distribuzioni stabili: definizione, parametrizzazione, generalizzazione del teorema del limite centrale, collegamento con la divisibilità infinita.)
2. Modelli multivariati standard
Introduzione ai modelli multivariati: distribuzioni congiunte, marginali e condizionate; indipendenza; momenti (vettore delle medie, matrici di varianza-covarianza e correlazione); trasformazioni lineari.
Stimatori standard del vettore delle medie e delle matrici di varianza-covarianza e correlazione.
Distribuzione normale multivariata: definizione/costruzione. Funzione di densità congiunta nel caso non singolare. Simulazione stocastica.
Proprietà della normale multivariata: trasformazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, forma quadratica, convoluzione.
Il caso bivariato: densità congiunta, distribuzioni condizionate, funzione di ripartizione congiunta (probabilità dei quadranti).
Test di normalità:
1) caso univariato: Q-Q plot, test di Jarque-Bera e Shapiro-Wilk
2) caso multivariato: distanza di Mahalanobis e sua distribuzione asintotica.
Asimmetria e curtosi multivariata; test di Mardia.
Limiti del modello normale multivariato.
Modelli mistura: generalità (misture finite e infinite).
Modelli mistura di varianza normale multivariata: genesi e principali proprietà.
Funzione caratteristica, trasformazioni lineari, densità, incorrelazione/indipendenza nei modelli di mescolanza di varianza.
Distribuzione t di Student univariata e multivariata.
Distribuzioni sferiche: definizioni e caratterizzazioni, anche in termini di variabili aleatorie R e S.
Densità congiunta di una variabile aleatoria sferica.
Distribuzioni ellittiche: definizione. Proprietà: rappresentazione stocastica, funzione caratteristica, operazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, convoluzioni, forma quadratica.
Stima del vettore di posizione e della matrice di dispersione.
Test di simmetria ellittica: Q-Q plot e test numerici.
3. Copule
Copule: introduzione, definizione e proprietà di base.
Trasformazione quantile e trasformazione di probabilità.
Teorema di Sklar.
Invarianza delle copule rispetto a trasformazioni strettamente crescenti.
Limiti inferiore e superiore di Fréchet.
Esempi di copule:
- Copule fondamentali (copula di indipendenza, copula comonotona, copula contro-monotona);
- Copule implicite (copula gaussiana e t);
- Esempi di copule esplicite (Gumbel e Clayton).
Meta-distribuzioni: costruzione di distribuzioni con margini arbitrari tramite una copula; simulazione di meta-distribuzioni.
Copule di sopravvivenza.
Simmetria radiale.
Distribuzioni condizionate associate a copule.
Densità di copula.
Scambiabilità (exchangeability).
Dipendenza perfetta: comonotonia e contro-monotonia.
Misure di dipendenza.
Correlazione di Pearson: definizione.
Prima fallacia del coefficiente di Pearson: le distribuzioni marginali e le correlazioni a coppie non determinano la distribuzione congiunta.
Seconda fallacia: per due margini fissati e un coefficiente di correlazione rho ∈ [-1,1], non è sempre possibile costruire una distribuzione congiunta che li rispetti.
Correlazioni ottenibili: esempi.
Tau di Kendall e rho di Spearman: definizioni e proprietà principali; relazione con la copula C di una variabile aleatoria bivariata.
Relazioni tra rho di Pearson, tau di Kendall e rho di Spearman per la copula gaussiana.
Coefficienti di dipendenza in coda superiore e inferiore: definizione e loro relazione con la copula C.
Stima delle copule a partire dai dati.
Metodo dei momenti.
Metodo della massima verosimiglianza e approccio in due fasi:
Fase 1: stima dei margini (parametrica o non parametrica),
Fase 2: stima dei parametri della copula tramite pseudo-campioni.
Esempi: stima della copula gaussiana e della copula t.
Il pacchetto R "copula".
Nozioni di base sulle variabili aleatorie univariate; panoramica delle distribuzioni di probabilità più comuni: Bernoulli, Binomiale, Normale, Esponenziale, Beta, Gamma.
Asimmetria e curtosi: distribuzioni leptocurtiche, mesocurtiche e platicurtiche.
Funzione inversa generalizzata e funzione quantile.
Trasformazione di variabili aleatorie: metodi per determinare la pdf/cdf di una funzione di una variabile aleatoria (caso univariato).
Il caso di funzioni monotone; il caso Y = X^2.
Distribuzioni bivariate, caso continuo: funzione di densità bivariata, funzione di ripartizione bivariata, funzioni di densità marginali e funzioni di ripartizione marginali.
Funzione caratteristica: definizione e proprietà principali. Funzione caratteristica per la variabile normale e per la somma di variabili normali indipendenti. Teoremi d'inversione.
Proprietà della pdf e della funzione caratteristica per distribuzioni simmetriche.
Proprietà e distribuzione asintotica dell'ecdf (funzione di ripartizione empirica). Test di Kolmogorov-Smirnov.
(Distribuzioni stabili: definizione, parametrizzazione, generalizzazione del teorema del limite centrale, collegamento con la divisibilità infinita.)
2. Modelli multivariati standard
Introduzione ai modelli multivariati: distribuzioni congiunte, marginali e condizionate; indipendenza; momenti (vettore delle medie, matrici di varianza-covarianza e correlazione); trasformazioni lineari.
Stimatori standard del vettore delle medie e delle matrici di varianza-covarianza e correlazione.
Distribuzione normale multivariata: definizione/costruzione. Funzione di densità congiunta nel caso non singolare. Simulazione stocastica.
Proprietà della normale multivariata: trasformazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, forma quadratica, convoluzione.
Il caso bivariato: densità congiunta, distribuzioni condizionate, funzione di ripartizione congiunta (probabilità dei quadranti).
Test di normalità:
1) caso univariato: Q-Q plot, test di Jarque-Bera e Shapiro-Wilk
2) caso multivariato: distanza di Mahalanobis e sua distribuzione asintotica.
Asimmetria e curtosi multivariata; test di Mardia.
Limiti del modello normale multivariato.
Modelli mistura: generalità (misture finite e infinite).
Modelli mistura di varianza normale multivariata: genesi e principali proprietà.
Funzione caratteristica, trasformazioni lineari, densità, incorrelazione/indipendenza nei modelli di mescolanza di varianza.
Distribuzione t di Student univariata e multivariata.
Distribuzioni sferiche: definizioni e caratterizzazioni, anche in termini di variabili aleatorie R e S.
Densità congiunta di una variabile aleatoria sferica.
Distribuzioni ellittiche: definizione. Proprietà: rappresentazione stocastica, funzione caratteristica, operazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, convoluzioni, forma quadratica.
Stima del vettore di posizione e della matrice di dispersione.
Test di simmetria ellittica: Q-Q plot e test numerici.
3. Copule
Copule: introduzione, definizione e proprietà di base.
Trasformazione quantile e trasformazione di probabilità.
Teorema di Sklar.
Invarianza delle copule rispetto a trasformazioni strettamente crescenti.
Limiti inferiore e superiore di Fréchet.
Esempi di copule:
- Copule fondamentali (copula di indipendenza, copula comonotona, copula contro-monotona);
- Copule implicite (copula gaussiana e t);
- Esempi di copule esplicite (Gumbel e Clayton).
Meta-distribuzioni: costruzione di distribuzioni con margini arbitrari tramite una copula; simulazione di meta-distribuzioni.
Copule di sopravvivenza.
Simmetria radiale.
Distribuzioni condizionate associate a copule.
Densità di copula.
Scambiabilità (exchangeability).
Dipendenza perfetta: comonotonia e contro-monotonia.
Misure di dipendenza.
Correlazione di Pearson: definizione.
Prima fallacia del coefficiente di Pearson: le distribuzioni marginali e le correlazioni a coppie non determinano la distribuzione congiunta.
Seconda fallacia: per due margini fissati e un coefficiente di correlazione rho ∈ [-1,1], non è sempre possibile costruire una distribuzione congiunta che li rispetti.
Correlazioni ottenibili: esempi.
Tau di Kendall e rho di Spearman: definizioni e proprietà principali; relazione con la copula C di una variabile aleatoria bivariata.
Relazioni tra rho di Pearson, tau di Kendall e rho di Spearman per la copula gaussiana.
Coefficienti di dipendenza in coda superiore e inferiore: definizione e loro relazione con la copula C.
Stima delle copule a partire dai dati.
Metodo dei momenti.
Metodo della massima verosimiglianza e approccio in due fasi:
Fase 1: stima dei margini (parametrica o non parametrica),
Fase 2: stima dei parametri della copula tramite pseudo-campioni.
Esempi: stima della copula gaussiana e della copula t.
Il pacchetto R "copula".
Prerequisiti
Lo studente dovrebbe conoscere le basi di algebra lineare, di calcolo differenziale e integrale, di calcolo delle probabilità e statistica inferenziale, assieme a delle minime capacità di programmazione.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni. Le lezioni teoriche sono sempre combinate con un momento di esperienza pratica, che consiste nella risoluzione di esercizi numerici o nell'implementazione di modelli teorici e metodologie nell'ambiente di programmazione R.
A lezione, il docente utilizza la lavagna e proietta al PC le slide che ha precedentemente caricato nella pagina Ariel del corso; utilizza il PC anche per illustrare l'implementazione in R dei modelli e metodi statistici presentati.
Gli studenti sono incoraggiati a verificare e migliorare le loro abilità attraverso il materiale supplementare fornito loro (principalmente, esercizi), testi di esami precedenti, questionari online, e bibliografia addizionale.
A lezione, il docente utilizza la lavagna e proietta al PC le slide che ha precedentemente caricato nella pagina Ariel del corso; utilizza il PC anche per illustrare l'implementazione in R dei modelli e metodi statistici presentati.
Gli studenti sono incoraggiati a verificare e migliorare le loro abilità attraverso il materiale supplementare fornito loro (principalmente, esercizi), testi di esami precedenti, questionari online, e bibliografia addizionale.
Materiale di riferimento
Slide e esercizi preparati dal docente disponibili su https://myariel.unimi.it/course/view.php?id=4045
Riferimenti bibliografici principali:
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2005
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2nd Edition, 2015
J.-F. Mai, M. Scherer: Financial Engineering with Copulas Explained, Palgrave Macmillan, New York, 2014
Altri riferimenti bibliografici:
M. Hofert, I. Kojadinovic, M. Machler, J. Yan: Elements of Copula Modeling with R, Springer, New York, 2018
R.G. Gallager, Stochastic Processes for Applications, Cambridge University Press, 2013
T. Mazzoni, A First Course in Quantitative Finance, Cambridge University Press, 2018
Y. Tse, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation, Cambridge University Press, 2009
Riferimenti bibliografici principali:
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2005
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2nd Edition, 2015
J.-F. Mai, M. Scherer: Financial Engineering with Copulas Explained, Palgrave Macmillan, New York, 2014
Altri riferimenti bibliografici:
M. Hofert, I. Kojadinovic, M. Machler, J. Yan: Elements of Copula Modeling with R, Springer, New York, 2018
R.G. Gallager, Stochastic Processes for Applications, Cambridge University Press, 2013
T. Mazzoni, A First Course in Quantitative Finance, Cambridge University Press, 2018
Y. Tse, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation, Cambridge University Press, 2009
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame finale consiste di un test scritto che può essere sostenuto in una qualsiasi sessione di esame ed è così strutturato:
- un numero (solitamente 14) di domande a scelta multipla; per ogni domanda sono fornite 4 possibili risposte di cui una sola è corretta
- una o più domande teoriche con risposta aperta (diciamo, 150 parole)
- uno o più esercizi numerici
Le domande coprono l'intero programma del corso e bilanciando la teoria con la pratica dovrebbero sperabilmente consentire di valutare le competenze complessive dello studente.
- un numero (solitamente 14) di domande a scelta multipla; per ogni domanda sono fornite 4 possibili risposte di cui una sola è corretta
- una o più domande teoriche con risposta aperta (diciamo, 150 parole)
- uno o più esercizi numerici
Le domande coprono l'intero programma del corso e bilanciando la teoria con la pratica dovrebbero sperabilmente consentire di valutare le competenze complessive dello studente.
Docente/i
Ricevimento:
PROSSIMI RICEVIMENTI: LUNEDI' 30 GIUGNO 9.30-12.30. Clicca su Vedi dettagli per proposte di elaborato finale a EMA
stanza 33, terzo piano DEMM