Teoria dei numeri
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di presentare i risultati standard di teoria algebrica dei numeri, quindi introdurre le funzioni L e la loro importanza aritmetica.
Risultati apprendimento attesi
Apprendimento dei risultati base della teoria algebrica dei numeri. Capacità di calcolare il gruppo delle classi e gruppo delle unità di un campo di numeri. Acquisire dimestichezza con le funzioni L ed alcuni argomenti più avanzati.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Programma del corso (per settimana):
1. Campi numerici e campi globali, anelli di interi, fattorizzazione ideale (e fallimento della fattorizzazione unica degli elementi), decomposizione degli ideali primi, gruppi di classi, campi locali, teoria delle ramificazioni.
2. Analisi dei gruppi di Galois dei campi locali, decomposizione e sottogruppi d'inerzia, descrizione delle estensioni abeliane dei campi locali (ovvero teoria dei campi di classe locale). Quest'ultimo argomento prevede l'introduzione del concetto di gruppi formali e moduli formali di Lubin-Tate, che verrà ripreso nella settimana successiva.
3. Proseguimento dello studio dei gruppi formali e dei moduli formali di Lubin-Tate, enunciato e dimostrazione del teorema principale della teoria dei campi di classe locale. Questo comporterà una discussione sulla coomologia dei gruppi e sul gruppo di Brauer.
4. Torneremo quindi ai campi globali e al problema della classificazione delle loro estensioni abeliane. Introduzione ad adèle e idèle e all'enunciato principale della teoria dei campi di classe globale. Illustreremo il problema della teoria esplicita dei campi di classe, ovvero il "Jungendtraum" di Kronecker, e tracceremo parallelismi tra la teoria esplicita dei campi di classe locali (fornita dai moduli formali di Lubin-Tate) e la teoria esplicita dei campi di classe sui campi ciclotomici (teorema di Kronecker-Weber), la cui dimostrazione discuteremo.
5. Affronteremo quindi il problema della teoria esplicita dei campi di classe su campi quadratici immaginari. Ciò comporterà l'introduzione delle curve ellittiche (sia come equazione planare proiettiva dotata di legge di gruppo, sia come varietà di gruppo) e la nozione di moltiplicazione complessa (CM). Verrà discusso il parallelo tra le curve ellittiche CM e i moduli formali di Lubin-Tate, e come questi generino estensioni abeliane.
6. Verrà discussa la dimostrazione del teorema principale della moltiplicazione complessa, ovvero come l'azione di Galois sui punti di torsione delle curve ellittiche CM possa essere descritta in termini degli endomorfismi CM. Infine, torneremo alla teoria globale dei campi di classe, mostrando come la teoria di CM renda esplicito un caso speciale su campi quadratici immaginari.
7. Discuteremo aspetti della dimostrazione della teoria globale delle classi e risultati correlati, come il teorema di densità di Cebotarev. Introdurremo anche le nozioni di funzioni L di Hecke e Dedekind, le loro definizioni iniziali come prodotto di Eulero e ne discuteremo la continuazione analitica.
8. Discuteremo la dimostrazione della formula del numero di classe per le funzioni L di Dedekind. Torneremo poi alle curve ellittiche e discuteremo lo studio dei suoi punti interi e razionali. Verrà introdotto il gruppo dei punti razionali, il "gruppo di Mordell-Weil", e come approssimare questo gruppo tramite la coomologia di Galois (il gruppo di Selmer). Discuteremo la dimostrazione del teorema di Mordell-Weil.
9. Definiamo quindi la funzione L di una curva ellittica e le analogie tra le sue formule di valore speciale e la formula del numero di classe. Discuteremo brevemente la prospettiva di continuare analiticamente questa funzione L e perché si tratta di una questione complessa. Nel caso di una curva ellittica CM, discuteremo la relazione tra la funzione L e la funzione L di Hecke di un carattere derivante dalla nostra precedente discussione sulla teoria esplicita dei campi di classe per il campo quadratico immaginario CM. La discussione di questi argomenti continuerà probabilmente nella prossima settimana.
10. Continueremo la discussione delle curve ellittiche e della loro aritmetica, in particolare di una certa serie generatrice chiamata "forma modulare" associata a una curva ellittica e del suo ruolo nella continuazione analitica della funzione L. Discuteremo (in termini molto generali) il collegamento di questa questione con il teorema di modularità di Wiles e Taylor-Wiles, accennando brevemente agli approcci moderni a questioni aritmetiche come la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
11. Continuazione della discussione sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
1. Campi numerici e campi globali, anelli di interi, fattorizzazione ideale (e fallimento della fattorizzazione unica degli elementi), decomposizione degli ideali primi, gruppi di classi, campi locali, teoria delle ramificazioni.
2. Analisi dei gruppi di Galois dei campi locali, decomposizione e sottogruppi d'inerzia, descrizione delle estensioni abeliane dei campi locali (ovvero teoria dei campi di classe locale). Quest'ultimo argomento prevede l'introduzione del concetto di gruppi formali e moduli formali di Lubin-Tate, che verrà ripreso nella settimana successiva.
3. Proseguimento dello studio dei gruppi formali e dei moduli formali di Lubin-Tate, enunciato e dimostrazione del teorema principale della teoria dei campi di classe locale. Questo comporterà una discussione sulla coomologia dei gruppi e sul gruppo di Brauer.
4. Torneremo quindi ai campi globali e al problema della classificazione delle loro estensioni abeliane. Introduzione ad adèle e idèle e all'enunciato principale della teoria dei campi di classe globale. Illustreremo il problema della teoria esplicita dei campi di classe, ovvero il "Jungendtraum" di Kronecker, e tracceremo parallelismi tra la teoria esplicita dei campi di classe locali (fornita dai moduli formali di Lubin-Tate) e la teoria esplicita dei campi di classe sui campi ciclotomici (teorema di Kronecker-Weber), la cui dimostrazione discuteremo.
5. Affronteremo quindi il problema della teoria esplicita dei campi di classe su campi quadratici immaginari. Ciò comporterà l'introduzione delle curve ellittiche (sia come equazione planare proiettiva dotata di legge di gruppo, sia come varietà di gruppo) e la nozione di moltiplicazione complessa (CM). Verrà discusso il parallelo tra le curve ellittiche CM e i moduli formali di Lubin-Tate, e come questi generino estensioni abeliane.
6. Verrà discussa la dimostrazione del teorema principale della moltiplicazione complessa, ovvero come l'azione di Galois sui punti di torsione delle curve ellittiche CM possa essere descritta in termini degli endomorfismi CM. Infine, torneremo alla teoria globale dei campi di classe, mostrando come la teoria di CM renda esplicito un caso speciale su campi quadratici immaginari.
7. Discuteremo aspetti della dimostrazione della teoria globale delle classi e risultati correlati, come il teorema di densità di Cebotarev. Introdurremo anche le nozioni di funzioni L di Hecke e Dedekind, le loro definizioni iniziali come prodotto di Eulero e ne discuteremo la continuazione analitica.
8. Discuteremo la dimostrazione della formula del numero di classe per le funzioni L di Dedekind. Torneremo poi alle curve ellittiche e discuteremo lo studio dei suoi punti interi e razionali. Verrà introdotto il gruppo dei punti razionali, il "gruppo di Mordell-Weil", e come approssimare questo gruppo tramite la coomologia di Galois (il gruppo di Selmer). Discuteremo la dimostrazione del teorema di Mordell-Weil.
9. Definiamo quindi la funzione L di una curva ellittica e le analogie tra le sue formule di valore speciale e la formula del numero di classe. Discuteremo brevemente la prospettiva di continuare analiticamente questa funzione L e perché si tratta di una questione complessa. Nel caso di una curva ellittica CM, discuteremo la relazione tra la funzione L e la funzione L di Hecke di un carattere derivante dalla nostra precedente discussione sulla teoria esplicita dei campi di classe per il campo quadratico immaginario CM. La discussione di questi argomenti continuerà probabilmente nella prossima settimana.
10. Continueremo la discussione delle curve ellittiche e della loro aritmetica, in particolare di una certa serie generatrice chiamata "forma modulare" associata a una curva ellittica e del suo ruolo nella continuazione analitica della funzione L. Discuteremo (in termini molto generali) il collegamento di questa questione con il teorema di modularità di Wiles e Taylor-Wiles, accennando brevemente agli approcci moderni a questioni aritmetiche come la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
11. Continuazione della discussione sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
Prerequisiti
Si presume che lei abbia una buona conoscenza dei seguenti argomenti.
1. Si darà per scontata la teoria dei gruppi, in particolare la teoria dei sottogruppi normali e p-Sylow, la teoria strutturale dei gruppi abeliani finitamente generati e la teoria dei caratteri. È inoltre utile avere familiarità con il concetto di rappresentazione dei gruppi.
2. Si darà per scontata la teoria degli anelli e dei moduli commutativi, delle estensioni di campi e anelli, nonché degli ideali primi. Si darà per scontata anche la conoscenza del concetto e dell'esistenza di chiusure integrali e algebriche, così come la familiarità con gli anelli di valutazione e i domini di Dedekind, sebbene questi concetti saranno rivisti nella prima parte del corso.
3. La nozione di numeri p-adici e di completamenti di anelli (in particolare a ideali primi) sarà utilizzata in modo cruciale durante tutto il corso. È consigliabile avere familiarità con la valutazione p-adica e con la nozione di metrica non archimedea. In quest'ottica, si raccomanda vivamente di avere familiarità con gli anelli locali completi e gli anelli semilocali.
4. Teoria di Galois, inclusa la corrispondenza di Galois e la teoria esplicita delle estensioni ciclotomiche. Si raccomanda di avere una buona familiarità con la teoria dei polinomi, i loro campi di spezzamento, il concetto di polinomi minimi e caratteristici, il teorema di Cayley-Hamilton e i criteri di irriducibilità come il criterio di Eisenstein. In particolare, è altamente raccomandata la conoscenza dell'irriducibilità del p^m-esimo polinomio ciclotomico (e le sue conseguenze nella teoria di Galois, ad esempio la struttura di Gal(Q(µN)/Q))).
5. Teoria di Kummer e risultati di base sulla coomologia di Galois come il Teorema 90 di Hilbert. Sarà inoltre utile conoscere le descrizioni esplicite della coomologia del primo gruppo, così come una certa familiarità con la descrizione della coomologia del secondo gruppo.
6. Una buona comprensione dell'analisi complessa, in particolare i concetti di funzioni meromorfe, teorema dei residui di Cauchy, integrazione di contorno e continuazione analitica. Saranno utili anche i risultati di base dell'analisi di Fourier e dell'analisi armonica, come l'esistenza di sviluppi di Fourier, la dualità di Fourier e la sommatoria di Poisson.
7. Si assumeranno nozioni di geometria algebrica di base, come la nozione di spettro ad anello e di varietà algebrica. Si raccomanda di comprendere, ad esempio, Spec(Z[x]). È inoltre vivamente consigliato conoscere il concetto di morfismo regolare di varietà algebriche. Sarà inoltre utile avere familiarità con gli anelli di serie di potenze.
I risultati che utilizzeremo saranno brevemente rivisti durante il corso, ma non verranno forniti approfondimenti sulle loro dimostrazioni, a meno che non siano esplicitamente necessari.
1. Si darà per scontata la teoria dei gruppi, in particolare la teoria dei sottogruppi normali e p-Sylow, la teoria strutturale dei gruppi abeliani finitamente generati e la teoria dei caratteri. È inoltre utile avere familiarità con il concetto di rappresentazione dei gruppi.
2. Si darà per scontata la teoria degli anelli e dei moduli commutativi, delle estensioni di campi e anelli, nonché degli ideali primi. Si darà per scontata anche la conoscenza del concetto e dell'esistenza di chiusure integrali e algebriche, così come la familiarità con gli anelli di valutazione e i domini di Dedekind, sebbene questi concetti saranno rivisti nella prima parte del corso.
3. La nozione di numeri p-adici e di completamenti di anelli (in particolare a ideali primi) sarà utilizzata in modo cruciale durante tutto il corso. È consigliabile avere familiarità con la valutazione p-adica e con la nozione di metrica non archimedea. In quest'ottica, si raccomanda vivamente di avere familiarità con gli anelli locali completi e gli anelli semilocali.
4. Teoria di Galois, inclusa la corrispondenza di Galois e la teoria esplicita delle estensioni ciclotomiche. Si raccomanda di avere una buona familiarità con la teoria dei polinomi, i loro campi di spezzamento, il concetto di polinomi minimi e caratteristici, il teorema di Cayley-Hamilton e i criteri di irriducibilità come il criterio di Eisenstein. In particolare, è altamente raccomandata la conoscenza dell'irriducibilità del p^m-esimo polinomio ciclotomico (e le sue conseguenze nella teoria di Galois, ad esempio la struttura di Gal(Q(µN)/Q))).
5. Teoria di Kummer e risultati di base sulla coomologia di Galois come il Teorema 90 di Hilbert. Sarà inoltre utile conoscere le descrizioni esplicite della coomologia del primo gruppo, così come una certa familiarità con la descrizione della coomologia del secondo gruppo.
6. Una buona comprensione dell'analisi complessa, in particolare i concetti di funzioni meromorfe, teorema dei residui di Cauchy, integrazione di contorno e continuazione analitica. Saranno utili anche i risultati di base dell'analisi di Fourier e dell'analisi armonica, come l'esistenza di sviluppi di Fourier, la dualità di Fourier e la sommatoria di Poisson.
7. Si assumeranno nozioni di geometria algebrica di base, come la nozione di spettro ad anello e di varietà algebrica. Si raccomanda di comprendere, ad esempio, Spec(Z[x]). È inoltre vivamente consigliato conoscere il concetto di morfismo regolare di varietà algebriche. Sarà inoltre utile avere familiarità con gli anelli di serie di potenze.
I risultati che utilizzeremo saranno brevemente rivisti durante il corso, ma non verranno forniti approfondimenti sulle loro dimostrazioni, a meno che non siano esplicitamente necessari.
Metodi didattici
Il materiale del corso sarà principalmente insegnato in lezioni regolari (circa quindicinali). Durante il corso verranno assegnati esercizi suggeriti (in particolare per l'elaborazione di esempi concreti a integrazione di quelli forniti in classe e per l'elaborazione dei dettagli delle dimostrazioni fornite in classe). La collaborazione e il lavoro di gruppo saranno fortemente incoraggiati nello svolgimento degli esercizi suggeriti, nonché nella revisione del materiale del corso e nella preparazione della presentazione finale del seminario. È inoltre vivamente consigliata la partecipazione alle regolari ore di ricevimento settimanali.
Materiale di riferimento
Algebraic Number Theory, a cura di J.W.S. Cassels e A. Fröhlich
Pubblicato dalla London Mathematical Society
ISBN-10: 0950273422, ISBN-13: 978-0950273426
Algebraic Number Theory, di J. Neukirch, Springer, Berlin, Heidelberg. Springer (1999).
Class Field Theory, appunti di J. Milne, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf.
"The Arithmetic of Elliptic Curves", J.H. Silverman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 106. Springer, New York. (2009).
Pubblicato dalla London Mathematical Society
ISBN-10: 0950273422, ISBN-13: 978-0950273426
Algebraic Number Theory, di J. Neukirch, Springer, Berlin, Heidelberg. Springer (1999).
Class Field Theory, appunti di J. Milne, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf.
"The Arithmetic of Elliptic Curves", J.H. Silverman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 106. Springer, New York. (2009).
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Alla fine del semestre si terrà una presentazione finale in stile seminario su un argomento avanzato a vostra scelta (da un elenco fornito di argomenti avanzati di teoria dei numeri), che determinerà il voto del corso. Tuttavia, durante questa presentazione seminariale vi verranno poste domande relative all'argomento e a vari aspetti del corso, tra cui il richiamo di alcuni aspetti del corso (come schemi di dimostrazioni di teoremi importanti e soluzioni di esercizi suggeriti).
Docente/i
Ricevimento:
Venerdì dalle ore 10:30 alle ore 12:30, previo contatto per email.
Dipartimento di Matematica - Studio 2092 (secondo piano)