Topologia differenziale
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
Scopo del corso è illustrare i risultati principali e fornire alcune delle tecniche proprie della topologia differenziale.
Know how to use some of the differential topology techniques on differentiable manifolds.
Know how to use some of the differential topology techniques on differentiable manifolds.
Risultati apprendimento attesi
Saper utilizzare alcune tecniche proprie della topologia differenziale sulla varietà differenziabili.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Richiami su: varietà differenziabili, applicazioni differenziabili, immersioni e sommersioni.
Punti critici/regolari, valori critici/regolari e struttura differenziabile della pre-immagine.
Trasversalità e proprietà di stabilità.
Teorema di Sard, e teoremi di Whitney.
Varietà a bordo. Teorema di Trasversalità di Thom. Intorno tubolare. Genericità e Teorema di
estensione.
Varietà orientate, orientazione della pre-immagine e numeri di orientazione.
Numeri di intersezione. Grado di una mappa.
Richiami sui fibrati vettoriali, campi vettoriali. Teorema di Poincaré-Hopf.
Teorema del grado di Hopf. Integrale di una k-forma e formula del grado.
Richiami di omologia singolare. Omologia cellulare.
Funzioni di Morse. Indice di un punto critico non degenere. Lemma di Morse. Primo e secondo teorema di Morse.
Topologia delle varietà di sottolivello. Teorema di Reeb.
Disuguaglianza e uguaglianza di Morse.
Applicazioni alla classificazione delle varietà di dimensione 1 e 2.
Teorema di Lefschetz per le sezioni iperpiane.
Punti critici/regolari, valori critici/regolari e struttura differenziabile della pre-immagine.
Trasversalità e proprietà di stabilità.
Teorema di Sard, e teoremi di Whitney.
Varietà a bordo. Teorema di Trasversalità di Thom. Intorno tubolare. Genericità e Teorema di
estensione.
Varietà orientate, orientazione della pre-immagine e numeri di orientazione.
Numeri di intersezione. Grado di una mappa.
Richiami sui fibrati vettoriali, campi vettoriali. Teorema di Poincaré-Hopf.
Teorema del grado di Hopf. Integrale di una k-forma e formula del grado.
Richiami di omologia singolare. Omologia cellulare.
Funzioni di Morse. Indice di un punto critico non degenere. Lemma di Morse. Primo e secondo teorema di Morse.
Topologia delle varietà di sottolivello. Teorema di Reeb.
Disuguaglianza e uguaglianza di Morse.
Applicazioni alla classificazione delle varietà di dimensione 1 e 2.
Teorema di Lefschetz per le sezioni iperpiane.
Prerequisiti
Si assume che gli studenti abbiano conoscenze di base di topologia generale, del gruppo fondamentale, di varietà differenziabili e di applicazioni lisce.
Metodi didattici
Lezioni.
Materiale di riferimento
M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011.
V.Guillemin, A. Pollack Differential Topology. AMS Chelsea Publishing 2010.
J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Point of View. University press of Virginia.
J.W. Milnor, Morse theory, Princeton University Press
V.Guillemin, A. Pollack Differential Topology. AMS Chelsea Publishing 2010.
J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Point of View. University press of Virginia.
J.W. Milnor, Morse theory, Princeton University Press
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Docente/i
Ricevimento:
ven.12.30-15.30 e per appuntamento, previo accordo via E-mail
Studio 2101, secondo piano, via C. Saldini 50