Analisi matematica 1

Campo reale e campo complesso. L'insieme dei numeri reali R e la sua caratterizzazione come campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore. Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi. La retta reale estesa. Spazi euclidei. Il campo dei numeri complessi C. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre, radici ennesime, logaritmi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Richiami di teoria elementare degli insiemi, delle applicazioni tra insiemi, relazioni e funzioni. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.

Spazi metrici. Definizione, esempi ed intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico. Successioni. Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Il limite che definisce il numero di Nepero "e" ed applicazioni.

Serie numeriche. Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy. Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz. Operazioni sulle serie. Riordinamenti.

Limiti e continuità. Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni. Continuità di funzioni tra spazi metrici. Controimmagine di un aperto. Continuità e le proprietà di compattezza e connessione. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Uniforme continuità. Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti ed operazioni algebriche. Forme di indecisione. Asintoti. Discontinuità.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. Differenziabilità e la funzione derivata. Derivazione di funzioni elementari. Regole di derivazione: operazioni algebriche, funzione composta e funzione inversa. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Derivate di ordine superiore. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio di funzioni: monotonia, convessità, ottimizzazione locale e globale. Teorema di De L'Hospital. Formule di Taylor ed applicazioni.

Campo reale e campo complesso. L'insieme dei numeri reali R e la sua caratterizzazione come campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore. Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi. La retta reale estesa. Spazi euclidei. Il campo dei numeri complessi C. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre, radici ennesime, logaritmi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Richiami di teoria elementare degli insiemi, delle applicazioni tra insiemi, relazioni e funzioni. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.

Spazi metrici. Definizione, esempi ed intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico. Successioni. Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Il limite che definisce il numero di Nepero "e" ed applicazioni.

Serie numeriche. Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy. Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz. Operazioni sulle serie. Riordinamenti.

Limiti e continuità. Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni. Continuità di funzioni tra spazi metrici. Controimmagine di un aperto. Continuità e le proprietà di compattezza e connessione. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Uniforme continuità. Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti ed operazioni algebriche. Forme di indecisione. Asintoti. Discontinuità.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. Differenziabilità e la funzione derivata. Derivazione di funzioni elementari. Regole di derivazione: operazioni algebriche, funzione composta e funzione inversa. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Derivate di ordine superiore. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio di funzioni: monotonia, convessità, ottimizzazione locale e globale. Teorema di De L'Hospital. Formule di Taylor ed applicazioni.