Argomenti avanzati di finanza matematica

I Richiami del corso di Finanza Matematica 1
Opzioni: definizioni e caratteristiche. Il principio di non arbitraggio. La valutazione delle opzioni. Completezza e incompletezza del mercato. I teoremi fondamentali di valutazione. Il prezzo di super-replicazione.

II Cenni di Analisi convessa
Spazi duali e topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare. Funzioni convesse, funzioni coniugate. Il teorema di dualità di Fenchel. Teorema di Fenchel-Moreau. Lo spazio ba, duale topologico di L^infty, Il teorema di Yosida-Hewitt., il teorema di Penot-Volle sulle funzioni quasi-convesse e lsc.

III Misure di Rischio
Misure di Rischio (MdR) monetarie, MdR coerenti e convesse. Proprietà e interpretazione finanziaria. Implicazioni fra le diverse proprietà delle MdR. Proprietà "cash additive": condizione necessaria e sufficiente per la rappresentazione delle MdR attraverso gli insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ. Lipschitz continuità.
MdR quasi-convesse e cash-subadditive. Proprietà e rappresentazione attraverso la famiglia A=(A_m) d'insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ.
Esempi: V@R, Worst RM, MdR entropica, certo equivalente.
Rappresentazione duale delle MdR coerenti e convesse utilizzando il teorema di Fenchel-Moreau.
Equivalenti condizioni di continuità per ρ monotone e quasi-convesse definite su L^infty. Analisi della MdR "worst" e della MdR entropica. Formulazione variazionale della MdR entropica.
Rappresentazione delle MdR coerenti attraverso il teorema di dualità per il prezzo di super replicazione.
Rappresentazione duale delle MdR quasi-convesse e monotone utilizzando il teorema di Penot-Volle).
MdR condizionali e dinamiche. Proprietà di regolarità. Rappresentazione duale delle MdR condizionali (Scandolo-Detlefsen).
Cenni: sull'estensione del teorema di Namioka-Klee, sulle misure di rischio definite su spazi di Orlicz, sul problema dell'estensione di MdR dallo spazio L^infty a spazi L^p, sulle MdR invarianti in distribuzione, sulle MdR definite sulle funzioni di distribuzione, sul Lambda V@R, sulle Scientific Research Measures.


IV Sul mercato finanziario
Modello di mercato finanziario generale. Il cono K dei claims replicabili e il cono C dei claims super replicabili e limitati. Misure "separanti" M (misure di martingala) e loro caratterizzazione. Le condizioni di NA, NFL, NFLVR. La condizione di No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR) e la chiusura debole di C.

V Massimizzazione dell'utilità attesa.
Le diverse ipotesi sulla funzione d'utilità u e conseguenze sulla sua funzione coniugata. Esempi.
Funzioni coniugate concave. Il funzionale coniugato del funzionale integrale. Il Teorema di Rockafellar. Il teorema minimax.
Il problema duale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa.
Il problema di massimizzazione dell'utilità attesa con vincolo di bilancio determinato da una sola probabilità Q, su L^infty e su L^1. Misure a entropia finita. Esempi di calcolo di (U_Q)(x) e uguaglianza fra (U_Q)(x), (U^Q)(x) e I(x,Q).
Sul funzionale U dell'utilità ottimale.
La misura Minimax. Condizioni equivalenti a U(x)Rappresentazione duale del problema di massimizzazione dell'utilità in mercati incompleti. Esempi: minimal variance, minimal entropy, minimal infty norm.
Relazione di dualità con contingent claims, penalità entropiche. La rappresentazione duale dell'entropia relativa. Interpretazione finanziaria dell'entropia relativa.
Valutazioni delle opzioni attraverso le misure minimax. Il "Fair price" di Davis.
Il certo equivalente dinamico e proprietà.
Il prezzo di vendita e di acquisto per funzionali generali e associazione con le misure di rischio.
Il prezzo d'indifferenza e relazione con le misure di rischio. Proprietà del prezzo d'indifferenza e sua rappresentazione duale.
Esistenza della soluzione ottimale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa con vincolo di bilancio determinato da una sola probabilità (mercato completo). Sulle ipotesi addizionali sulla funzione d'utilità. Cenni al caso di mercato incompleto.

VI Misure di rischio sistemico
Definizioni di misure di rischio sistemico e funzione di aggregazione, rappresentazione duale e soluzione duale ottimale, misure di probabilità eque, equità dell'allocazione (aleatoria) e allocazioni del rischio eque, esistenza e unicità dell'allocazione ottimale, interpretazione sulla base della massima utilità attesa, rischio marginale, il caso esponenziale.