Geometria 3

(1) Spazi topologici ed esempi (topologia banale, discreta, del complemento finito, del complemento
numerabile).
(2) Basi: proprieta e topologia generata. Confronto di topologie. Topologia Euclidea sulla
retta reale; altri esempi di topologie su R
(3) Spazi metrici e distanza: esempi, proprieta delle bolle, topologia indotta dalla distanza e
distanza topologicamente equivalenti . Metrica della convergenza uniforme
su C0([a; b]). Distanza L1 su C0([0; 1]) (_).
(4) Sottobasi e topologia generata. Topologia prodotto: esempio: topologie equivalenti in
R _ R. Proiezioni canoniche. Sottospazi: topologia di sottospazio, basi, proprieta e
relazione con la topologia prodotto. Interno, chiusura, insiemi clopen, intorni; punti di
aderenza, punti di accumulazione, insieme derivato. Operatore di chiusura; topologia
generata da un operatore di chiusura (_). Punti isolati, insiemi perfetti, insiemi densi;
frontiera. Teorema di approssimazione di Weierstrass (_).
(5) Assiomi di separazione (I): T0, T1, T2; proprieta, esempi; caso degli spazi metrici. Proprieta degli spazi T1 e degli spazi T2. Topologia dell'ordine (_). Topologia quoziente.
Gruppi topologici e azione di gruppi (argomento svolto durante le esercitazioni). Sistemi
fondamentali d' intorni e loro proprieta; topologia generata (_).
(6) Funzioni continue; composizioni; omeomorfismi. proprieta e legame con le basi; esempio
della proiezione sul quoziente e proprieta universale del quoziente. Esempi di omeomorfi-
smi. Unione di una famiglia localmente finita di chiusi (_). Continuita puntuale.
Prodotti: proiezioni canoniche come mappe continue e aperte.
(7) Spazi vettoriali topologici (operatori di traslazione e di dilatazione, norma,
metrica indotta dalla norma)(_). Continuita in spazi metrici. Successioni e limiti,
sottosuccessioni, valori limite. Primo assioma di numerabilita e propreta di spazi che lo
soddisfano. Non metrizzabilita di RR (_).
(8) Spazi metrici: successioni in spazi metrici, successioni di Cauchy, completezza; metrica
indotta su un sottospazio; completamento di uno spazio metrico \alla Cantor"
(_); isometrie. Lo spazio funzionale Y I e la metrica uniforme su Y I corrispondente alla
metrica d su Y ; caso in cui I sia uno spazio topologico: teorema del limite uniforme.
Metrica dell'estremo superiore e completezza dello spazio B(X;R). Completamento di
uno spazio metrico (X; d) per immersione isometrica in (B(X;R); _).
(9) Compattezza (I): prime proprieta, ricoprimenti, compattezza di sottospazi, chiusi in compatti,
compatti in spazi di Hausdorff; compattezza e applicazioni continue. Costruzione
di una curva di Peano (_).
(10) Compattezza (II): prodotto di due compatti; esempi di spazi compatti: intervalli chiusi in
insiemi totalmente ordinati con la topologia dell'ordine, caratterizzazione dei compatti di
Rn. Proprieta dell'intersezione finita (_). Non numerabilit_a di spazi di Haus-
dorff compatti costituiti da soli punti di accumulazione (_). Compattezza secondo
Fr_echet e relazione con la compattezza. Compattezza per successioni e relazione con compattezza
secondo Frechet in spazi soddisfacenti il primo assioma di numerabilita. Nozioni
equivalenti di compattezza in spazi metrici. Spazi metrici totalmente limitati, numero di
Lebesgue di un ricoprimento; caratterizzazione della compattezza di uno spazio metrico
(X; d). Famiglie di funzioni equicontinue e loro proprieta (_). Teorema di As-
coli (_). Condizione sufficiente per l'equicontinuita uniforme di una famiglia
di funzioni equicontinue (_). Algebre e reticoli (_), estensione di Stone del
Teorema di Weierstrass (_).
(11) Teorema di Tychonoff e sue conseguenze. Box topology vs. product topology. Topologia
compatta-aperta e locale compattezza (_). Proprieta della locale compattezza
(_). Topologia compatta-aperta e topologia della convergenza puntuale (_).
Topologia della convergenza compatta (_). Teorema di Ascoli generalizzato.
(12) Connessione: separazione, spazi connessi, esempi e proprieta. Unione di connessi con intersezione
non vuota, aggiunta di punti di aderenza a un insieme connesso, immagine di
un connesso tramite un'applicazione continua. Prodotto di spazi connessi con la topologia
prodotto, confronto con la box topology. Connessione negli spazi totalmente
ordinati(_). Teorema \dei valori intermedi" per applicazioni continue da spazi connessi
a insiemi totalmente ordinati. Archi, connessione per archi; esempi e controesempi. Immagine
di uno spazio connesso per archi mediante un'applicazione continua. Componenti
connesse e connesse per archi. Lemma dell'incollamento.
(13) Assiomi di separazione (II): spazi T3 (o regolari) e spazi T4 (o normali), loro caratterizzazioni
ed esempi con particolare riguardo agli spazi metrici, spazi compatti e T2. Sottospazi
e prodotti di spazi T3. Secondo assioma di numerabilita, sottospazi, prodotti,
spazi metrici. Teorema di Lindelo_. Spazi separabili, prodotti, sottospazi. Relazioni con
il secondo assioma di numerabilita. T3 a base numerabile e' T4. X ben ordinato e 'T4
(_).
(14) Lemma di Urysohn. T4 e separabilita con funzioni continue. Spazi completamente regolari
(o di Tychonoff). Sottospazi di spazi normali (o completamente regolari) sono completamente
regolari. Teorema di metrizzazione di Urysohn. Caratterizzazione degli spazi
completamente regolari come omeomorfi ad un sottospazio di un cubo reale. Teorema di
estensione di Tietze.
(15) (_) Compattificazioni: compattificazione a un punto (o di Alexandroff) e di
Stone-_Cech.
(16) (_) Omotopie e relazione di equivalenza di omotopia; spazi contraibili. Cammini e cammini
omotopi, prodotto di cammini. Gruppo fondamentale (o primo gruppo di omotopia)
della coppia (X; x0). Dipendenza dal punto base. Omomorfismo indotto da applicazioni
continue. Invarianza per omotopia. Spazi localmente connessi e localmente connessi per
archi. Ricoprimenti; ricoprimenti e classi laterali. Lemma del rilevamento. Spazi semplicemente
connessi e localmente semplicemente connessi. Ricoprimento universale e sue
proprieta. Ricoprimenti isomorfi. Trasformazioni di ricoprimento; ricoprimenti regolari;
gruppo delle trasformazioni di ricoprimento. Richiami di algebra: gruppi abeliani; gruppi
abeliani liberi; prodotto libero di gruppi; prodotto libero esterno. Teorema di Seifert-Van
Kampen.

N.B. Le dimostrazioni relative agli argomenti indicati con (_) non saranno chieste in sede d'esame.