Matematica

1. Preliminari.
a) Insiemi e operazioni sugli insiemi. Iniettività, suriettività.
b) Numeri interi ed elementi di calcolo combinatorio: fattoriale, permutazioni, combinazioni semplici e con ripetizione, disposizioni semplici e con ripetizioni.
c) Numeri reali. Operazioni ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati od illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Intervalli. Distanza.
d) Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Composizione di funzioni. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori e inferiori di funzioni. Segno e zeri di una funzione. Operazioni sui diagrammi: traslazioni, simmetrie.


2. Funzioni elementari.
a) Modulo. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale. Le funzioni potenza x^a e le funzioni esponenziali a^x. Le funzioni logaritmiche. Le funzioni trigonometriche.
b) Disequazioni algebriche di II grado, razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche. Sistemi di disequazioni.

3. Limiti e funzioni continue.
a) Distanza ed intorni, intorni destri ed intorni sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Alcune forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
b) Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.

4. Derivate ed applicazioni.
a) Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivabilità e continuità. Punti di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda, suo segno e convessità.
b) Studio qualitativo del grafico di una funzione.
c) Derivate successive. Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teoremi di De l'Hospital. Polinomio di Taylor e Teorema di Taylor. Uso del teorema per la determinazione dei limiti.
5. Integrali.
a) Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
b) Calcolo di aree mediante l'uso di integrali.
c) Cenni agli integrali impropri su intervalli illimitati.
6. Algebra lineare.
a) Vettori geometrici. Vettori in R^n . Matrici a coefficienti reali. Prodotto tra matrici e sue proprietà. Sistemi lineari in forma matriciale Ax = b. Risoluzione sistemi con il metodo Gauss.
b) Rango (o caratteristica di A). Determinante di matrici quadrate. Calcolo del rango con i determinanti mediante il Teorema di Kronecker. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice quadrata.
c) Il prodotto scalare e sue proprietà. Norma (o modulo) di un vettore. Vettori ortogonali. Sistemi di riferimento in E^2 ed E^3. Cenni di geometria analitica. Prodotto vettoriale in R^3.

7. Equazioni differenziali.
Definizioni di equazione differenziale (in forma normale e non) e di ordine di un'equazione differenziale. Soluzione e soluzione generale di un'equazione differenziale. Esempi di equazioni differenziali. Problema di Cauchy.

Nota: le lezioni saranno corredate da numerose ore di esercitazioni svolte dagli stessi docenti.

1. Preliminari.
a) Insiemi e operazioni sugli insiemi. Iniettività, suriettività.
b) Numeri interi ed elementi di calcolo combinatorio: fattoriale, permutazioni, combinazioni semplici e con ripetizione, disposizioni semplici e con ripetizioni.
c) Numeri reali. Operazioni ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati od illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Intervalli. Distanza.
d) Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Composizione di funzioni. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori e inferiori di funzioni. Segno e zeri di una funzione. Operazioni sui diagrammi: traslazioni, simmetrie.


2. Funzioni elementari.
a) Modulo. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale. Le funzioni potenza x^a e le funzioni esponenziali a^x. Le funzioni logaritmiche. Le funzioni trigonometriche.
b) Disequazioni algebriche di II grado, razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche. Sistemi di disequazioni.

3. Limiti e funzioni continue.
a) Distanza ed intorni, intorni destri ed intorni sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Alcune forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
b) Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.

4. Derivate ed applicazioni.
a) Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivabilità e continuità. Punti di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda, suo segno e convessità.
b) Studio qualitativo del grafico di una funzione.
c) Derivate successive. Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teoremi di De l'Hospital. Polinomio di Taylor e Teorema di Taylor. Uso del teorema per la determinazione dei limiti.
5. Integrali.
a) Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
b) Calcolo di aree mediante l'uso di integrali.
c) Cenni agli integrali impropri su intervalli illimitati.
6. Algebra lineare.
a) Vettori geometrici. Vettori in R^n . Matrici a coefficienti reali. Prodotto tra matrici e sue proprietà. Sistemi lineari in forma matriciale Ax = b. Risoluzione sistemi con il metodo Gauss.
b) Rango (o caratteristica di A). Determinante di matrici quadrate. Calcolo del rango con i determinanti mediante il Teorema di Kronecker. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice quadrata.
c) Il prodotto scalare e sue proprietà. Norma (o modulo) di un vettore. Vettori ortogonali. Sistemi di riferimento in E^2 ed E^3. Cenni di geometria analitica. Prodotto vettoriale in R^3.

7. Equazioni differenziali.
Definizioni di equazione differenziale (in forma normale e non) e di ordine di un'equazione differenziale. Soluzione e soluzione generale di un'equazione differenziale. Esempi di equazioni differenziali. Problema di Cauchy.

Nota: le lezioni saranno corredate da numerose ore di esercitazioni svolte dagli stessi docenti.